4.1.3. Некоторые примеры

Пример 4.1. Пусть

где Найдем -статистику для проверки гипотезы

Решение. В матричной форме эта модель имеет вид

или где -матрица размера ранга 2. Гипотеза имеет вид

или где А — матрица размера и ранга 1. Поэтому рассмотренная выше теория применима в указанной ситуации, и при этом

На первом шаге мы находим матрицу

Далее,

и из соотношения (3.9)

Саму -статистику можно найти по крайней мере двумя методами.

Метод 1. Последовательно находим

где Если гипотеза верна, то

Метод 2. Пусть Если гипотеза верна, то

и уравнение приводит к оценке Отсюда находим

и

Пример 4.2. Пусть независимая выборка из -независимая выборка из Найдем статистику критерия для проверки гипотезы

Решение. В соответствии со сделанными предположениями мы можем написать

и

или в матричных обозначениях

где Таким образом, наша модель имеет вид где -матрица размера ранга Как и в примере 4.1, гипотеза имеет вид так что применима общая теория Поскольку здесь

то

и

Кроме того,

так что статистика критерия для проверки гипотезы имеет вид

где . Если гипотеза верна, то

Заметим, что поскольку справедливо тождество (в смысле совпадения распределений), то указанная -статистика является квадратом обычной -статистики, используемой для проверки гипотез о значении разности средних двух нормальных совокупностей (в предположении равенства дисперсий этих совокупностей).

Пример 4.3. Пусть задана общая линейная модель

Найдем статистику критерия для проверки гипотезы

Решение. Предположим, что мы произвели разбиение

где - матрица размера Гипотеза имеет вид где — вектор-строка, в которой на месте стоит единица, а на всех остальных — нули. Используя общую матричную теорию, получаем а диагональный элемент матрицы так что -статистика равна

и имеет при гипотезе распределение Как и в примере 4.2, найденная -статистика опять оказывается квадратом обычной -статистики.

Необходимую здесь матрицу можно найти, используя указанный в метод обращения блочных симметричных матриц. Пусть -состоящий из единиц вектор-столбец размера Тогда

и в соответствии с

где

Таким образом, искомая матрица является обратной к матрице V, представляющей собой матрицу скорректированных сумм квадратов и произведений регрессоров.

Более подробно этот пример рассматривается в разд. 11.7.1.