Главная > Линейный регрессионный анализ
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8.5. Многомерная полиномиальная регрессия

8.5.1. Подбор аппроксимирующей поверхности

Значительное внимание в литературе уделено задаче подбора полинома второй степени от нескольких переменных

Как оказывается, вся теория ортогональных полиномов может быть обобщена и для использования ее в двумерном случае. И здесь фундаментальную роль играют полиномы Чебышева. За подробностями мы отсылаем читателя к работе Hayes (1974).

8.5.2. Поверхности отклика

Одним из наиболее важных применений полиномиальной регрессии от нескольких переменных является изучение поверхностей отклика. Мы проиллюстрируем некоторые основные черты этой методологии, рассматривая случай, когда имеются только два регрессора.

Предположим, что "отклик" (выход) в заданном эксперименте является неизвестной функцией от двух переменных: (температуры) и (концентрации). Предположим также, что поверхность в трехмерном пространстве, реализующая эту функцию, "ведет себя достаточно хорошо". В частности, пусть

она является гладкой и имеет единственный хорошо выраженный пик. Значение отклика измеряется с ошибкой, так что в действительности мы наблюдаем величину где Основная задача теории откликов состоит в оценке координат вершины указанного пика.

Один из способов решения этой задачи заключается в использовании последовательности экспериментов и метода быстрейшего восхождения для "подъема на вершину" поверхности. Для точек, удаленных от точки максимума, поверхность является относительно линейной, так что ее можно приблизить в окрестности такой точки некоторой плоскостью

Для оценки коэффициентов можно использовать, например, так называемый -план, в котором наблюдаются значения в четырех вершинах малого прямоугольника с центром на плоскости (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Поверхность отклика..

Предположим, что мы наблюдаем при этом значения величины в точках где два выбранных значения переменной два выбранных значения переменной Тогда мы можем подбирать к этим данным модель

где и получить аппроксимирующую плоскость в виде

Если — точка этой плоскости, расположенная по вертикали над точкой то плоскость, аппроксимирующая поверхность

в окрестности точки может помочь нам переместиться в сторону более высокой точки поверхности и соответственно получить большее значение К. Например, если в положительны, то следует увеличить Однако наиболее эффективный способ подъема состоит в перемещении по направлению наибольшей крутизны. Для отыскания этого так называемого пути быстрейшего подъема рассмотрим следующую задачу. Предположим, что нам нужно максимизировать разность при условии Используя множитель Лагранжа имеем

Приравнивая правой части (8.28), находим, что значения соответствующие максимальному значению указанной разности, должны быть пропорциональны значениям Поэтому, рассматривая как начало координат, следует выбрать координаты точки следующего наблюдения в виде где какое-нибудь положительное число. Постепенно увеличивая значения мы можем проводить измерения соответствующих значений К до тех пор, пока не достигнем такой точки на плоскости в которой изменение при изменении становится или очень малым, или даже отрицательным. После этого мы реализуем новый -план на малом прямоугольнике с центром в точке и подбираем новую плоскость (8.28). Затем опять определяем направление быстрейшего подъема и движемся в этом направлении, пока не достигнем малых изменений в значениях скажем в точке На этом пути мы продвигаемся в сторону вершины поверхности.

При приближении к вершине значения становятся все более малыми и продвигаться, используя метод быстрейшего подъема, становится все труднее. Здесь уже существенное влияние на значения оказывает кривизна поверхности. Поэтому в непосредственной близости к вершине можно подбирать не плоскость, а квадратичный полином вида (8.25), используя для этой цели, скажем, -план. Этот план состоит в использовании трех значений и трех значений и в наблюдении значений в соответствующих 9 точках. Посредством переноса начала и поворота осей аппроксимирующую поверхность

можно представить в каноническом виде

здесь — оценки координат вершины поверхности. Тройку чисел проще всего найти, беря частные

производные (8.29) по и решая получающуюся пару уравнений относительно При этом мы получаем значения а значение есть просто значение у в (8.29) при

Приведенное нами довольно беглое описание методологии, связанной с поверхностями отклика, оставляет открытыми целый ряд вопросов. Укажем, например, такие из них:

(1) В указанном рассмотрении мы использовали для подбора плоскости в качестве плана первого порядка -план, а для подбора квадратичного полинома (в качестве плана второго порядка) - -план (план второго порядка). При этом возникает вопрос: какие планы лучше использовать в каждом из этих случаев?

(2) Как мы можем узнать, когда надо переходить от плана первого порядка к плану второго порядка?

(3) Как следует выбирать значения

(4) Что будет, если в процессе подъема мы попадем в стационарную точку, не являющуюся максимумом, или на медленно повышающийся гребень? (Подобная ситуация соответствует случаю, когда в (8.30) то или иное значение к; оказывается отрицательным.)

Хотя у нас и нет возможности рассматривать здесь эти и другие важные в практическом отношении вопросы, некоторые комментарии относительно планов первого порядка все же уместно сделать. Мы видели в § 3.5 (лемма), что планы с ортогональной структурой обладают некоторыми свойствами оптимальности. В частности, -план относится к этой категории и является -оптимальным если шкалировать значения так, чтобы они принимали значения ±1. Для изучения этой ортогональной структуры удобно представить символически два уровня значений переменной в виде 1 и а, а два уровня значений переменной виде Тогда все четыре возможных комбинации можно представить символически (перемножая значения уровней в каждой паре) как а значения в этих точках — как соответственно. В такой записи модель (8.27) принимает вид

или где столбцы матрицы X взаимно ортогональны и удовлетворяют условиям леммы из § 3.5. Поэтому

так что

и

Если использовать терминологию факторного анализа и именовать "факторами" то и — суть оценки величин, которые можно было бы назвать главными эффектами факторов соответственно.

Дальнейшее рассмотрение общей теории выбора оптимальных планов для анализа поверхностей отклика можно найти в работах Box, Draper (1971, 1975), Atkinson (1972), Thompson (1973) и Mitchel (1974b). Описание методов анализа поверхности отклика имеется в работах Davies (1960), Hill, Hunter (1966, обзорная статья), John (1971, гл. 10), Guttman и др. (1971, с. 435 и далее), а также в работах Myers (1971), Налимов, Чернова (1965, В дополнение к методу быстрейшего подъема Box (1957) и Box, Draper (1969) предложили другой метод, известный под названием эволюционного планирования, который можно рекомендовать для использования в промышленности. Этот метод, однако, не используется столь широко, как это могло бы быть, и мы отсылаем читателя за полезными комментариями по этому поводу к работам Hahn, Dershowitz (1974) и Lowe (1974).

Упражнения к гл. 8

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru