Главная > Линейный регрессионный анализ
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9.3. Классификация по нескольким признакам при равных числах наблюдений для каждого среднего

9.3.1. Определение взаимодействий и главных эффектов

Обобщение построенной теории на случай классификаций по нескольким признакам при равных числах наблюдений для каждого среднего проводится непосредственно. Мы продемонстрируем, как это делается, на примере классификации по трем признакам:

где независимые случайные величины, каждая из которых имеет распределение Здесь мы имеем три фактора: фактор уровнями, фактор уровнями и фактор С с К уровнями. На каждое из средних имеющихся совокупностей приходится по наблюдений. В дополнение к взаимодействиям (первого порядка) между факторами Ли здесь ймеется возможность наличия взаимодействия (второго порядка) между всеми тремя факторами. Однако если факторы взаимодействуют только попарно, так что, например, на взаимодействие фактор С никак не влияет, то взаимодействие А В будет одним и тем же для всех уровней фактора С. Математически это означает, что - к

или

(Иллюстрирующий это численный пример приведен в упр. 8 в конце главы.) Поскольку выражение для симметрично относительно индексов входящих в него величин, то того же результата следует ожидать, если рассматривать и взаимодействие при различных уровнях фактора и взаимодействие при различных уровнях фактора В. Представляется естественным определить как взаимодействие второго порядка между уровнем фактора уровнем фактора уровнем, фактора С. Далее мы будем говорить о таких взаимодействиях просто как о взаимодействиях

Идеи двухфакторного анализа из § 9.2 можно перенести и на изучаемую ситуацию, рассматривая для каждого уровня фактора С соответствующие таблицы двухфакторного дисперсионного анализа. Так, взаимодействие уровня фактора А с уровнем

фактора В при условии, что фактор С находится на уровне равно

Среднее этих величин по всем значениям фактора С

мы называем взаимодействием уровня фактора уровнем фактора В. Аналогично определяются взаимодействия и

и

По аналогии с разд. 9.2.1 мы определим также следующие главные эффекты:

9.3.2. Проверка гипотез

Используя данные выше определения и обозначая мы приходим к следующей перепараметризации модели:

где

и

причем эти условия выполняются для всех значений индексов

Гипотезы следует проверять в таком порядке: взаимодействия второго порядка равны нулю для всех взаимодействия первого порядка равны нулю для всех для всех для всех главные эффекты равны нулю для всех для всех для всех Если гипотеза Навс верна, то соответствующий трехфакторный эксперимент равносилен трем назависимым двухфакторным экспериментам, каждый из которых относится к одной из трех пар факторов; при

этом взаимодействия первого порядка допускают простую интерпретацию. Например, в таком случае величина (9.37) остается одной и той же для всех так что она равна среднему по всем k (равному ). Подобным же образом, если верна еще и гипотеза то соответствующий трехфакторный эксперимент равносилен двум независимым однофакторным экспериментам для факторов соответственно, и можно легко интерпретировать главные эффекты и например

Как и при классификации по двум признакам, здесь можно применить общую теорию регрессии. Например, полагая

соотношение (9.36) можно представить в виде где -матрица размера ранга Минимизируя сумму относительно мы находим, что

степенями свободы. Чтобы найти для каждой из гипотез сумму RSS, разложим способом, подобным использованному в (938), именно

Переходя к квадратам и суммируя их по находим, что суммы, включающие смешанные произведения, обращаются в нуль, так что

Учитывая, что и используя соотношения (9.38) и (9.39), находим

Левая часть (9.41) достигает минимума, если неизвестные значения параметров равны

Соответствующее минимальное значение равно, конечно, остаточной сумме квадратов, указанной в (9.40). Проверка каждой из частных гипотез производится теперь весьма просто. Например, если мы хотим проверить гипотезу то положим в (9.41) и минимизируем полученную сумму относительно остальных параметров. При этом минимум последней суммы достигается при тех же самых значениях оставшихся параметров, так что

Поэтому

последняя сумма имеет степеней свободы, и соответствующая -статистика равна

Если гипотеза верна, то эта статистика имеет -распределение с и степенями свободы.

Различные квадратичные формы вместе с их степенями свободы приведены в табл. 9.3. Число степеней свободы каждой из этих квадратичных форм можно определить эвристически, как указано в разд. 9.2.2, или найти прямо из следа квадратичной формы. Например, используя эмпирическое правило разложения квадратичных форм из разд. 9.1.2, получаем

След симметричной матрицы, соответствующей этой квадратичной форме, равен сумме коэффициентов при слагаемых равен

Таблица 9.3 (см. скан) Дисперсионный анализ для классификации по трем признакам с наблюдениями на каждое среднее

1
Оглавление
email@scask.ru