4.5. Случай, когда матрица плана имеет неполный ранг

4.5.1. F-критерий и проекционные матрицы

Прежде чем рассматривать случай, когда -матрица X имеет ранг полезно, как мы убедимся в дальнейшем, привести более общую (по сравнению с уже представленной) теорию -критерия.

Предположим, что имеется модель где -мерное подпространство пространства и нужно проверить гипотезу где — некоторое -мерное подпространство пространства При этом справедлива

Теорема 4.5. Если гипотеза верна и то

где симметричные идемпотентные матрицы, проектирующие на и соответственно (приложение В).

Доказательство. Статистики являются оценками наименьших квадратов для 0 при предположениях соответственно. Поэтому

и

Поскольку имеем так что

Подобным же образом, если гипотеза верна, то и

Далее, матрицы и являются проекторами на и (см. В1.6 и В3.2), так что они симметричны и идемпотентны и имеют ранги соответственно Поэтому, согласно теореме 2.8 и примеру 2.6 (или теореме 2.9) из § 2.4, статистики имеют распределения и соответственно. Таким образом,

Нетрудно заметить, что утверждение теоремы 4.1 является частным случаем доказанной теоремы: здесь когда . В следующем разделе мы обобщим и остальные утверждения теоремы 4.1.