7.6. Двухфазная линейная регрессия

Иногда регрессию на х бывает разумно представлять в виде пары пересекающихся прямых, одна из которых соответствует значениям а другая — значениям т. е.

и

Например, x может быть возрастающей функцией времени, и в некоторый момент времени производится воздействие, которое может повлиять на наклон линии регрессии либо сразу же, либо через какое-то время. Следуя Sprent (1961), мы называем точкой переключения, а -переключающим значением.

7.6.1. Оценивание методом наименьших квадратов при неизвестной точке переключения

Пусть мы хотим подобрать двухфазную модель

методом наименьших квадратов, и при этом известно значение у и

Тогда мы должны минимизировать сумму при линейных ограничениях (7.51) следующим образом ISprent (1961, с. Рассмотрим выражение

где - множитель Лагранжа, соответствующий (7.51). Приравнивая нулю частные производные по , получаем уравнения наименьших квадратов

и

Из (7.52) и (7.53) имеем

Подстановкой в

получаем

где Наконец, подставляя (7.56) и (7.58) в (7.54) и (7.55), находим

где

и

Решая полученные уравнения относительно и можем найти затем К из (7.58) и из (7.56).

Заметим, что минимальное значение суммы ее равно

Мы обозначим его

7.6.2. Проверка гипотезы о том, что точка переключения соответствует заданному значению

Если мы считаем приемлемой двухфазную модель, то может возникнуть потребность в проверке гипотезы , где с заключено между какими-то двумя значениями х, скажем Проверка этой гипотезы равносильна проверке гипотезы о том, что две прямые пересекаются при а это можно сделать, используя метод разд. 7.5.4а. Однако, поскольку сейчас рассматриваются только две прямые, возникают некоторые алгебраические упрощения. Например, значение выражающееся формулой (7.47) (где заменяется на совпадает со значением задаваемым формулой так что критерий для проверки гипотезы строится по статистике

где и RSS задается выражением Можно также показать (Sprent (1961, формула (7)), что

Там же рассмотрены и другие связанные. с этой задачи, с которыми читатель более подробно может ознакомиться самостоятельно.

7.5.3. Точка переключения не известна

Если известно, что то в качестве оценки можно использовать (ср. с (7.51))

где и -обычные оценки наименьших квадратов для параметров прямой Поскольку у—отношение двух коррелированных нормальных случайных величин, то для отыскания доверительного интервала для у можно использовать метод Филлера, состоящий в следующем.

Рассмотрим случайную величину Тогда используя формулу (7.6) из разд. 7.2.3 с получаем

Обозначим правую часть для краткости Тогда, как и в разд, 7.7.2, -процентный доверительный интервал для у определяется корнями уравнения

т. е. квадратного трехчлена

где

Если значение у оказывается вне интервала то экспериментатор должен решить, связано ли это со случайным характером данных (здесь ему окажет помощь указанный выше доверительный интервал для ), или это является следствием неправильного предположения о расположении точки переключения. Если расположение точки у не известно, то задача становится существенно более сложной из-за возникающей нелинейности. В таком случае двухфазная модель принимает вид [Hinkley (1971)]

где значение, а — теперь уже неизвестное целое число, значение которого надо оценить. Hinkley (1971) кратко описывает метод максимального правдоподобия для оценки параметров Детально соответствующая процедура разобрана в работах Hudson (1966), Hinkley (1969b). Hinkley указывает также приближенные доверительные интервалы для этих параметров, которые можно использовать при больших выборках. Для случая больших выборок он приводит также критерии для проверки гипотез (наклон прямой не изменяется) и Другой подход к проверке гипотезы указали Farley, Hinich (1970).

Отметим, наконец, что метод Хадсона обобщил Williams (1970) на случай трехфазной линейной регрессии. Интересный вариант этой частной модели, в которой первая и третья линии предполагаются горизонтальными, описал Curnow (1973). Задачу оценивания кусочно-линейной регрессии в общем случае рассматривали Hudson (1966), Bellman, Roth (1969), McGee, Carleton (1970) (см. также Feder (1975), где обсуждаются некоторые теоретические проблемы),