1.5. Независимость случайных величин

Два случайных вектора называют (статистически) независимыми, если их совместная плотность представима в виде произведения

где и - соответствующие маргинальные функции плотности распределения.

Теорема 1.9. Если случайные векторы независимы, а функции а и измеримы, так что случайные величины, то независимы.

Доказательство. Указанный результат непосредственно вытекает из факторизуемости характеристической функции совместного распределения т. е. из соотношения

Хорошо известно, что соотношение еще не означает, что независимы. Однако в одном важном случае, а именно когда пара имеет двумерное нормальное распределение, случайные величины независимы тогда и только тогда, когда Обобщение этого результата на случай многомерного нормального распределения приведено в теореме 2.6 (§ 2.3).

Если случайных величин больше двух, т. е., скажем, если рассматриваются случайные величины часто приходится сталкиваться с необходимостью доказательства их взаимной независимости — доказательства соотношения

где плотность распределения случайной величины Здесь возникает соблазн попытаться решить эту задачу путем доказательства независимости каждой пары случайных величин Однако, хотя из взаимной независимости случайных величин и вытекает их попарная независимость (это можно показать, производя интегрирование по какому-нибудь одному из переменных в соотношении (1.10)), обратное в общем случае не верно. Возьмем, например

Второе слагаемое в фигурных скобках является нечетной функцией по переменной так что соответствующий этому слагаемому интеграл при интегрировании по в пределах от до равен нулю (см. также упр. 1 в конце этого параграфа). Поэтому

так что независимые стандартные нормальные величины. Отсюда мы можем заключить, что случайные величины попарно независимы и имеют одинаковые маргинальные распределения, а именно стандартное нормальное распределение. Однако эти случайные величины не являются взаимно независимыми, так как

Тем не менее в том частном случае, когда случайные величины имеют совместное многомерное нормальное распределение, из попарной независимости случайных величин вытекает и их взаимная независимость (ср. со следствием из теоремы 2.6 из § 2.3).

Ввиду той центральной роли, которую играет многомерное нормальное распределение в регрессионном анализе, мы детально обсудим свойства этого распределения в следующей главе.

Упражнения 1с

(см. скан)