Глава 4. ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

4.1. F-критерий

4.1.1. Вывод

Рассмотрим линейную модель в которой матрица X имеет размер и ранг Пусть мы хотим проверить гипотезу где А — известная -матрица ранга а с — известный -вектор (относительно мотивировки выбора такой гипотезы Я см. § 1.2). Обозначим

и

где — то же, что и в (3.59), , т. е.

и -минимальное значение при ограничениях . В приводимой ниже теореме описывается -статистика для проверки указанной гипотезы Я.

Теорема 4.1.

Если гипотеза Я верна, то статистика

имеет распределение -распределение с степенями свободы соответственно).

(iv) Если то статистика принимает вид

где - симметричная и идемпотентная матрица и

Доказательство, (i) В соответствии с соотношением (3.64) из разд. 3.9.1 имеем Подставляя сюда выражение для разности получаемое из (4.1), приходим к искомому результату.

(ii) Поскольку строки матрицы А линейно независимы и то из теоремы 2.2 (§ 2.2) вытекает, что Положим Тогда и

Поэтому, используя теорему 1.7 (следствие 1) из § 1.4, имеем (с учетом

(iii) Из (i) вытекает, что разность является непрерывной функцией от и поэтому не зависит от RSS (см. теорему 3.5 (iii) в § 3.4 и теорему 1.9 в § 1.5). Если гипотеза верна, то так что в силу теоремы

т. е. это отношение имеет распределение Наконец, поскольку (теорема то отношение

при выполнении гипотезы имеет форму Значит, если гипотеза верна, то .

(iv) Полагая в выражении имеем

т. е.

где симметричная матрица. Упрощая выражение для матрицы находим, что эта матрица симметрична и идемпотентна и что Отсюда получаем, что

(последнее получаем транспонированием). Для завершения доказательства напомним, что и аналогичным образом получаем

Таким образом,

Заметим, что если гипотеза верна, то оценка для близка к с и разность "мала". Если же. значительно отличается от с, то разность имеет тенденцию принимать большие значения. Таким образом, наш -критерий является односторонним. Мы отвергаем гипотезу Я, если значение статистики оказывается значимо большим.

Если то обычно более удобно находить RSS и непосредственно, отыскивая минимальные значения ее при наличии ограничений и без таковых. Однако если то значение статистики проще находить, используя общую матричную теорию, изложенную выше. В этом случае требующая обращения матрица имеет порядок не выше второго. Соответствующие примеры даны в разд. 4.1.3.

Следует отметить, что поскольку величина определена однозначно, то поэтому не имеет значения, какой метод мы используем для отыскания Мы могли бы, например, используя ограничения сначала исключить некоторые а затем минимизировать ее по отношению к остальным параметрам

Часть (iv) доказанной теоремы поясняет геометрическую сторону -критерия, которая будет описана в разд. 4.5.1.

Упражнения 4а

(см. скан)