11.10. Проверка гипотез

Предположим, что матрица X имеет размер и ранг и что мы хотим проверить гипотезу где А — матрица размера и ранга Статистика для соответствующего критерия равна

где

Мы приведем сейчас предложенный Golub, Styan (1973) метод вычисления разности Прежде всего,

где матрица размера и ранга Пусть

есть ортогональное разложение матрицы в котором произведение преобразований Хаусхольдера, верхняя треугольная матрица. Тогда и

где . Хотя Golub, Styan (1973) об этом специально и не упоминают, мы видим, что

Эти алгебраические преобразования приводят к следующей процедуре вычислений:

(1) Вычисляется вектор где -решение уравнения

(2) Вычисляется матрица Для этого решается уравнение где — нижняя треугольная матрица.

(3) Матрица с помощью преобразований Хаусхольдера приводится к матрице

(4) Вычисляется вектор Для этого решается уравнение где V — нижняя треугольная матрица.

(5) Вычисляется значение

где вектор, получаемый одновременно с

(6) Если требуется найти то берется где матрица размера Тогда можно найти (см. (11.63)) из уравнения

Если

где В силу

разность можно вычислить, применяя преобразований Хаусхольдера из (11.62) одновременно к и суммируя затем квадраты первых элементов преобразованного вектора

В заключение отметим, что указанные процедуры можно выполнить и с использованием преобразований Гивенса. Для случая, когда ранг матрицы X оказывается меньшим , Golub, Styan (1973) приводят два метода, позволяющие решить вопрос о возможности проверки той или иной гипотезы. Там же приведена аналогичная описанной выше процедура вычисления -статистики для гипотез, допускающих проверку.