3.4. Теория распределений

До сих пор единственные предположения относительно состояли в том, что Если дополнительно предположить нормальность ошибок то и поэтому При этом получается целый ряд результатов, связанных с распределениями.

Теорема 3.5. Если где -матрица размера ранга то

Доказательство. (i) Поскольку то где - матрица размера для которой (в силу имеет многомерное нормальное распределение (теорема 2.2, § 2.2). В частности, из соотношений (3.10) и (3.11) мы имеем .

(ii) , а последняя величина, согласно пункту (i) и теореме имеет распределение

(iii) В соответствии с теоремой имеем

Если в теореме 2.7, § 2.3, положить то непосредственно из нее получаем, что (5 не зависит от а значит, и от

Это утверждение можно доказать различными способами в зависимости от того, какую из теорем гл., 2 мы собираемся использовать. Полезно рассмотреть следующие три способа доказательства.

Способ 1

Здесь мы обозначили и воспользовались тем, что

При этом отношение (равное имеет распределение а [в силу ]. Кроме того, является непрерывной функцией от так что в силу теоремы 1.9, § 1.5, и квадратичная форма не зависит от Поэтому (теорема 1.10, § 1.6).

Способ 2

Используя теоремы 3.3 и получаем

где симметричная идемпотентная матрица ранга Поскольку то (теорема 2.8, § 2.4).

Способ 3

Используя разложение (3.15), получаем, что (согласно Поэтому в силу теоремы 2.9 из § 2.4 .

Упражнения 3d

(см. скан)