3.9.2. Метод ортогональных проекций
Выражение (3.59) можно получить конструктивным образом, используя теорию, приведенную в
Для того чтобы сделать это, мы сначала "удалим" с.
Пусть
произвольное решение уравнения
Тогда
или
Таким образом, имеем модель
в которой
поскольку матрица X имеет полный ранг, выполняется равенство
Тогда, полагая
и
из
получаем
где
есть
-матрица ранга
(см. упр. 5 ниже). Поэтому в силу
Отсюда вытекает, что
так как
Опуская в обеих частях (3.67) составляющие
и умножая оба получающихся при этом выражения на
приходим к выражению (3.59) для
Это значение очевидным образом дает минимум, поскольку
Преимущество указанного подхода состоит в том, что его легко приспособить к случаю, когда матрица X имеет ранг
Поскольку мы в состоянии оценивать только оцениваемые функции, то предположим, что оцениваемая функция
где
есть
строка матрицы А, т. е. что
(разд. 3.8.2) и
где матрица
имеет размер
Поскольку А — матрица размера
ранга
должно выполняться соотношение
и так как
то
Рассуждая, как и в (3.66), опять приводим модель к виду
где
и
Поэтому
где
— матрица размера
ранга
упр. 4 ниже). И опять, используя
получаем
Наконец, используя те же доводы, которые привели к (3.67), приходим к уравнению
так что любое решение
имеет вид
где
Упражнения 3k
(см. скан)