11.2.2. Метод разложения Холецкого (метод квадратного корня)
Поскольку матрица В положительно определена, ее можно, и притом единственным образом, представить в виде 
где 
- вещественная верхняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами. Такая факторизация матрицы В называется разложением Холецкого. Ее применение к регрессии (под названием метода квадратного корня) стало популярным, по-видимому, благодаря работе Dwyer (1945). Некоторые авторы предпочитают использовать нижнюю треугольную матрицу. При этом матрица В записывается в виде 
где 
Приравнивая соответственные элементы правой и левой частей (11.5), мы находим, что матрицу 
можно вычислять строка за строкой, используя выражения
и для 
Данный алгоритм обладает тем преимуществом, что для вычисления 
строки матрицы 
требуется иметь в распоряжении только 
строку матрицы 
предварительно вычисленных строк матрицы 
Преимущество оказывается весьма значительным, если матрица В столь велика, что ее приходится хранить во внешней памяти, и заранее неизвестно, в каком порядке надо вызывать строки.
Если матрица 
вычислена, то решение уравнения 
уже не составляет труда, поскольку дело сводится к решению треугольных систем: 
относительно 
относительно х. Кроме того,
так что из (3.9) имеем
Если вместо матрицы X работать с расширенной матрицей (
то одновременное 
можно получить также вектор 
(см. упр. 4 в конце главы).
Матрицу, обратную к В, можно получить, решая 
уравнений 
где 
-единичный вектор, у которого равны нулю все элементы, кроме 
равного 1. Решение, соответствующее 
будет 
столбцом матрицы 
В то же время, поскольку 
верхняя треугольная матрица, найти обратную к ней матрицу 
(также являющуюся верхней треугольной) не составляет труда. При этом
Элементы матрицы 
вычисляются для 
по формулам
и
т. е. это равно произведению 
столбцов матрицы 
Поскольку матрица симметрична, достаточно найти только элементы, составляющие ее верхнюю треугольную часть. Как указывают Martin и др. (1965), после того как вычислен элемент 
элемент 
больше уже не требуется. Этот факт может быть полезен для сокращения объема занимаемой памяти.
Обратную к В матрицу можно найти и непосредственно из матрицы 
решая уравнение
относительно столбцов матрицы 
начиная с последнего ее столбца [Fox, Hayes (1951), Plackett (1960, с. 4)]; см. упр. 5 в конце главы. Комментируя этот метод, Golub (1969, с. 378) утверждает, что число операций, требующихся для его реализации, оказывается приблизительно тем же, что и для предшествующего метода, использующего 
Другую факторизацию матрицы В предложили Martin и др. (1965); она не требует большего числа умножения и позволяет при этом избежать вычисления квадратных корней в (11.6) и (11.7). Пусть 
где 
верхняя треугольная матрица с единичными диагональными элементами. Тогда
где 
- диагональная матрица, все диагональные элементы которой положительны. Нормальные уравнения принимают вид 
и их решение сводится к последовательному решению уравнений
Martin и др. (1965) показали, что такой метод отыскания х требует того же числа умножений, что и метод Холецкого, но вдвое меньшего числа делений. Кроме того, 
можно найти по формуле
