ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время имеется значительное число учебников и монографий, посвященных методам вычислений (часть из них отражена в списке литературы к данному пособию). Однако, на наш взгляд, большинство этих книг ориентировано на студентов-математиков или на специалистов по вычислительной математике. В то же время практически отсутствует отечественная учебная литератур», в которой доступным для студента технического вуза или инженера образом были бы изложены основы вычислительных методов, применяемых сегодня для решения инженерных задач. Особенно острой, по мнению авторов, является потребность в книге, которая содержала бы не только изложение начал численных методов, но и давала бы представление о реально используемых в вычислительной практике алгоритмах. Данное учебное пособие призвано в определенной степени восполнить этот пробел.

Настоящее пособие адресовано в первую очередь студентам и аспирантам высших технических учебных заведений, изучающим основы математического моделирования и численные методы. Авторы надеются на то, что эта книга будет полезна широкому кругу инженерных и научно-технических работников, которые намерены применять ЭВМ для решения прикладных задач.

При написании книги авторы использовали многолетний опыт преподавания курса вычислительных методов студентам и аспирантам различных специальностей Московского энергетического института, а также опыт работы на вычислительном центре МЭИ. Значительное влияние на выбор материала и характер изложения оказали также многочисленные дискуссии со слушателями существующего при МЭИ факультета повышения квалификации преподавателей вузов страны.

Авторы стремились, изложить материал по возможности наиболее простым и доступным образом. Объем знаний высшей математики, необходимый для понимания содержания книги, не выходит за рамки про граммы младших курсов втуза. Пособие содержит довольно много примеров, иллюстрирующих те или иные положения теории, а также демонстрирующих особенности вычислительных методов или работу конкретных алгоритмов. Тем не менее многие из рассматриваемых вопросов трудны для восприятия и требуют внимательного изучения. К сожалению, в учебной литературе они нередко опускаются. К таким центральным вопросам относятся, например, понятия корректности, устойчивости и обусловленности вычислительных задач и вычислительных алгоритмов, особенности поведения вычислительной погрешности. Важность их понимания для эффективного применения ЭВМ сегодня велика и не акцентировать на них внимание авторы посчитали невозможным.

Дадим краткое изложение основного содержания книги. Важную идейную нагрузку несут на себе первые три главы. Рассматриваемые в них вопросы закладывают фундамент, необходимый для правильного понимания рассматриваемых в остальных главах вычислительных методов.

В гл. 1 дается общее представление о методе математического моделирования, в том числе о процессе создания математических моделей, о последовательности этапов решения инженерной задачи с применением ЭВМ, о вычислительном эксперименте.

В гл. 2 наряду с введением в элементарную теорию погрешностей содержится изложение основных особенностей машинной арифметики. Понимание этих особенностей необходимо тем, кто заинтересован в эффективном применении ЭВМ для решения прикладных задач.

В гл. 3 обсуждаются важнейшие свойства вычислительных задач, методов и алгоритмов. Дается общее представление о корректности, устойчивости и обусловленности вычислительной задачи. Приводится описание основных классов вычислительных методов. Значительное внимание уделяется устойчивости вычислительных алгоритмов, их чувствительности к ошибкам. Дается представление о различных подходах" к анализу ошибок, в том числе и об обратном анализе ошибок. Обсуждаются требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам.

Конкретные вычислительные задачи и методы их решения рассматриваются начиная с гл. 4. Здесь авторы стремились к тому, чтобы не только изложить простейшие подходы, но и дать представление об алгоритмах, которые реально используются для решения соответствующих задач.

В гл. 4 рассматриваются методы отыскания решений нелинейных уравнений. Значительное внимание уделено постановке задачи и ее свойствам, в частности — чувствительности корней нелинейных уравнений к погрешностям. Среди различных методов отыскания корней более подробно излагаются метод простой итерации, метод Ньютона и различные их модификации.

В гл. 5 рассмотрены прямые (точные) методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Основное внимание уделяется методу Гаусса и его различным модификациям. Рассматривается использование LU-разложения матриц для решения систем линейных уравнений, метод квадратных корней, метод прогонки, методы вращений и отражений. Обсуждается алгоритм итерационного уточнения.

В гл. 6 рассматриваются итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод простой итерации, метод Зейделя, метод релаксации и другие методы.

В гл. 7 рассматривается задача отыскания решений систем нелинейных уравнений. Обсуждаются не только соответствующие итерационные методы, но и различные подходы к решению сложной задачи локализации.

В гл. 8 дается представление о проблеме собственных значений и о различных подходах к вычислению собственных значений и собственных векторов. Излагаются степенной метод и обратный степенной метод, обсуждается QR-алгоритм.

В гл. 9 излагаются наиболее известные численные методы решения задачи одномерной минимизации, в том числе метод деления отрезка пополам, метод Фибоначчи, метод золотого сечения и метод Ньютона.

В гл. 10 рассматриваются различные методы решения задачи безусловной минимизации. Наиболее полно изложены градиентный метод, метод Ньютона и метод сопряженных градиентов.

В гл. 11 рассмотрены наиболее важные и часто встречающиеся в приложениях методы приближения функций. Значительное внимание уделено интерполяции, причем рассматривается интерполяция не только алгебраическими многочленами, но и тригонометрическими многочленами, а также интерполяция сплайнами. Достаточно подробно обсуждается метод наименьших квадратов. Дается понятие о наилучшем равномерном приближении и дробно-рациональных аппроксимациях.

В эту главу включены также некоторые вопросы, имеющие непосредственное отношение к методам приближения функций. Это конечные и разделенные разности, многочлены Чебышева, быстрое дискретное преобразование Фурье.

В гл. 12 рассматриваются различные подходы к выводу формул численного дифференцирования, обсуждается чувствительность этих формул к ошибкам в вычислении значений функции.

В гл. 13 излагаются методы вычисления определенных интегралов. Выводятся квадратурные формулы интерполяционного типа и квадратурные формулы Гаусса. Дается представление о принципах построения адаптивных процедур численного интегрирования и, в частности, об используемых в них способах апостериорной оценки погрешности. Рассматриваются различные подходы к вычислению интегралов от функций, имеющих те или иные особенности. В

частности, затрагивается проблема интегрирования быстро осциллирующих функций.

Гл. 14 посвящена численным методам решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений Подробно рассматриваются метод Эйлера и его различные модификации. Значительное внимание уделено рассмотрению классических методов Рунге-Кутты и Адамса. Обсуждаются различные свойства устойчивости численных методов решения задачи Коши, в том числе нуль-устойчивость, абсолютная устойчивость, -усгойчивость, -устойчивость. Специально рассматриваются жесткие задачи и методы их решения.

В гл. 15 изучаются методы численного решения двухточечных краевых задач. Подробно излагается применение метода конечных разностей к решению краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Дается представление о проекционных методах Ритца и Галеркина; обсуждается один из их современных вариантов — метод конечных элементов. Завершает главу рассмотрение метода пристрелки.

Можно предположить, что к изучению отдельных параграфов или даже глав этой книги читатель приступит, только столкнувшись с необходимостью решить на ЭВМ важную для него задачу. Вероятно, в этом случае польза от изучения соответствующего раздела будет наибольшей. Многие вопросы рассмотрены очень кратко или не рассмотрены вообще. Авторы надеются на то, что соответствующие пробелы можно восполнить, используя сделанные в тексте ссылки на известные учебники и монографии.

В ряде случаев авторы позволяют себе интерпретировать те или иные результаты, делать определенные выводы и даже давать рекомендации в надежде на то, что для новичка соответствующие рассуждения дадут полезный начальный ориентир. В целом же ко всяким рекомендациям в такой сложной и многообразной области, как применение вычислительных методов для решения прикладных задач на ЭВМ, следует отнестись с осторожностью. Они не могут претендовать на бесспорность и их следует рассматривать скорее как отражение точки зрения авторов.

Иногда то или иное положение обосновывается ссылкой на вычислительную практику. Хотя критерий практики и играет при отборе методов вычислений существенную роль, все же оценки методов, основанные на результатах их применения для решения конкретных задач, нередко бывают весьма субъективны и противоречивы.

В заключение отметим, что никакие теоретические положения и советы не могут заменить собственного опыта вычислительной работы Как надеются авторы, параллельно с изучением данной книги такой опыт может приобрести читатель переходя от решения задач учебного характера к серьезным практическим задачам

Авторы