Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3.3. Вычислительные методыОбсудив некоторые важные особенности вычислительных задач, обратим внимание на те методы, которые используются в вычислительной математике для преобразования задач к виду, удобному для реализации на ЭВМ, и позволяют конструировать вычислительные алгоритмы. Мы будем называть эти методы вычислительными. С некоторой степенью условности можно разбить вычислительные методы на следующие классы: 1) методы эквивалентных преобразований; 2) методы аппроксимации; 3) прямые (точные) методы; 4) итерационные методы; 5) методы статистических испытаний (методы Монте-Карло). Метод, осуществляющий вычисление решения конкретной задачи, может иметь довольно сложную структуру, но его элементарными шагами, являются, как правило, реализации указанных методов. Дадим о них общее представление. 1. Методы эквивалентных преобразований.Эти методы позволяют заменить исходную задачу другой, имеющей то же решение. Выполнение эквивалентных преобразований оказывается полезным, если новая задача проще исходной или обладает лучшими свойствами, или для нее существует известный метод решения, а, может быть, и готовая программа. Пример 3.13. Эквивалентное преобразование квадратного уравнения Эквивалентные преобразования иногда позволяют свести решение исходной вычислительной задачи к решению вычислительной задачи совершенно иного типа. Пример 3.14. Задача отыскания корня нелинейного уравнения 2. Методы аппроксимации.Эти методы позволяют приблизить (аппроксимировать) исходную задачу другой, решение которой в определенном смысле близко к решению исходной задачи. Погрешность, возникающая при такой замене, называется погрешностью аппроксимации. Как правило, аппроксимирующая задача содержит некоторые параметры, позволяющие регулировать величину погрешности аппроксимации или воздействовать на другие свойства задачи. Принято говорить, что метод аппроксимации сходится, если погрешность аппроксимации стремится к нулю при стремлении параметров метода к некоторому предельному значению. Пример 3.15. Один из простейших способов вычисления интеграла
Шаг Пример 3.16. Учитывая определение производной функции Одним из распространенных методов аппроксимации является дискретизация — приближенная замена исходной задачи конечномерной задачей, т.е. задачей, входные данные и искомое решение которой могут быть однозначно заданы конечным набором чисел. Для задач, которые не являются конечномерными, этот шаг необходим для последующей реализации на ЭВМ, так как вычислительная машина в состоянии оперировать лишь с конечным количеством чисел. В приведенных выше примерах 3.15 и 3.16 была использована дискретизация. Хотя точное вычисление интеграла и предполагает использование бесконечного числа значений При решении нелинейных задач широко используют различные методы линеаризации, состоящие в приближенной замене исходной задачи более простыми линейными задачами. Пример 3.17. Пусть требуется приближенно вычислить значение
Рис. 3.4 точке с абциссой
Например, если для При решении разных классов вычислительных задач могут использоваться различные методы аппроксимации; к ним можно отнести и методы регуляризации решения некорректных задач. Заметим, что методы регуляризации широко используют и для решения плохо обусловленных задач. 3. Прямые методы.Метод решения задачи называют прямым, если он позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций. Пример 3.18. Метод вычисления корней квадратного уравнения Заметим, что элементарная операция прямого метода может оказаться довольно сложной (вычисление значений элементарной или специальной функции, решение системы линейных алгебраических уравнений, вычисление определенного интеграла и т.д.). То, что она принимается за элементарную, предполагает во всяком случае, что ее выполнение существенно проще вычисления решения всей задачи. При построении прямых методов существенное внимание уделяется минимизации числа элементарных операций. Пример 3.19 (схема Горнера). Пусть задача состоит в вычислении значения многочлена
по заданным коэффициентам Значительно более экономичным является метод вычисления, называемый схемой Горнера. Он основан на записи многочлена в следующем эквивалентном виде:
Расстановка скобок диктует такой порядок вычислений: Схема Горнера интересна тем, что дает пример оптимального по числу элементарных операций метода. В общем случае значение Иногда прямые методы называют точными, подразумевая под этим, что при отсутствии ошибок во входных данных и при точном выполнении элементарных операций полученный результат также будет точным. Однако при реализации метода на ЭВМ неизбежно появление вычислительной погрешности, величина которой зависит от чувствительности метода к ошибкам округления. Многие прямые (точные) методы, разработанные в домашинный период, оказались непригодными для машинных вычислений именно из-за чрезмерной чувствительности к ошибкам округления. Не все точные методы таковы, однако стоит заметить, что не совсем удачный термин "точный" характеризует свойства идеальной реализации метода, но отнюдь не качество полученного при реальных вычислениях результата. 4. Итерационные методы.Это — специальные методы построения последовательных приближений к решению задачи. Применение метода начинают с выбора одного или нескольких начальных приближений. Для получения каждого из последующих приближений выполняют однотипный набор действий с использованием найденных ранее приближений — итерации. Неограниченное продолжение этого итерационною процесса теоретически позволяет построить бесконечную последовательность приближений к решению итерационную последовательность. Если эта последовательность сходится к решению задачи, то говорят, что итерационный метод сходится. Множество начальных приближений, для которых метод сходится, называется областью сходимости метода. Заметим, что итерационные методы широко используются при решении самых разнообразных задач с применением ЭВМ. Пример 3.20. Рассмотрим известный итерационный метод, предназначенный для вычисления
Известно, что этот метод сходится при любом начальном приближении Вычислим с его помощью значение Обсудим на примере метода Ньютона некоторые типичные для итерационных методов (и не только для них) проблемы. Итерационные методы по своей сути являются приближенными; ни одно из получаемых приближений не является точным значением решения. Однако сходящийся итерационный метод дает принципиальную возможность найти решение с любой заданной точностью Хотя сам факт сходимости метода безусловно важен, он недостаточен для того, чтобы рекомендовать метод для использования на практике. Если метод сходится очень медленно (например, для получения решения с точностью в 1% нужно сделать Приведем две такие априорные оценки для метода Ньютона. Пусть
Здесь
из которого вида роль хорошего выбора начального приближения. Чем меньше величина Практическая реализация итерационных методов всегда связана с необходимостью выбора критерия окончания итерационного процесса. Вычисления не могут продолжаться бесконечно долго и должны быть прерваны в соответствии с некоторым критерием, связанным, например, с достижением заданной точности. Использование для этой цели априорных оценок чаще всего оказывается невозможным или неэффективным. Качественно верно описывая поведение метода, такие оценки являются завышенными и дают весьма недостоверную количественную информацию. Нередко априорные оценки содержат неизвестные величины (например, в оценках (3.14), (3.15) содержится величина а), либо предполагают наличие и серьезное использование некоторой дополнительной информации о решении. Чаще всего такой информации нет, а ее получение связано с необходимостью решения дополнительных задач, нередко более сложных, чем исходная. Для формирования критерия окончания по достижении заданной точности, как правило, используют так называемые апостериорные оценки погрешности — неравенства, в которых величина погрешности оценивается через известные или получаемые в ходе вычислительного процесса величины. Хотя такими оценками нельзя воспользоваться до начала вычислений, в ходе вычислительного процесса они позволяют давать конкретную количественную оценку погрешности. Например, для метода Ньютона (3.13) справедлива следующая апостериорная оценка:
позволяющая оценивать абсолютную погрешность приближения через модуль разности двух последовательных приближений. Она дает возможность сформулировать при заданной точности
вычисления следует прекратить и принять Пример 3.21. Если значение 5. Методы статистических испытаний (методы Монте-Карло).Это — численные методы, основанные на моделировании случайных величин и построении статистических оценок решений задач. Этот класс методов, как принято считать, возник в 1949 г., когда Дж. фон Нейман и С. Улам использовали случайные числа для моделирования с помощью ЭВМ поведения нейтронов в ядерном реакторе. Эти методы могут оказаться незаменимыми при моделировании больших систем, но подробное их изложение предполагает существенное использование аппарата теории вероятностей и математической статистики и выходит за рамки данной книги.
|
1 |
Оглавление
|