§ 11.9. Интерполяционный многочлен Ньютона. Схема Эйткена

1. Интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями.

Используя разделенные разности, интерполяционный многочлен можно записать в следующем виде:

Здесь Записанный в таком виде интерполяционный многочлен называют интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями.

Замечание 1. Отметим очевидную (с учетом равенства аналогию между формулой Ньютона (11.52) и формулой Тейлора (11.32).

Замечание 2. Формулу (11.25) для погрешности интерполяции в точке х, не являющейся узловой, можно уточнить следующим образом:

Мы не приводим доказательства этой замечательной формулы. Отметим лишь, что если воспользоваться свойством 2° разделенных разностей, то из нее немедленно получается формула (11.25).

В практическом плане формула (11.52) обладает рядом преимуществ перед формулой Лагранжа. Пусть, например, по каким-либо причинам необходимо увеличить степень интерполяционного многочлена на единицу, добавив в таблицу еще один узел При использовании формулы Лагранжа (11.22) это приводит не только к увеличению числа слагаемых, но и к необходимости вычислять каждое из них заново. В то же время для вычисления по формуле Ньютона

(11 52) достаточно добавить к лишь одно очередное слагаемое, так как

Заметим, что в случае, когда величина мала, а функция достаточно гладкая, справедливо приближенное равенство

из которого с учетом равенств (11.53) и (11.54) следует, что

Таким образом, величину

можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции.

Пример 11.8. По табл 11.1 значений функции из примера 11.3 найдем приближенное значение при , используя интерполяционные многочлены Ньютона с разделенными разностями Для Оценим при к погрешность интерполяции по формуле (11.55).

Занумеруем узлы таблицы в следующем порядке: т. е. в порядке возрастания расстояния до точки Соотьетствующие этой нумерации разделенные разности приведены в табл 11.8 (мы используем только подчернутые разности).

Вычисления на -разрядной десятичной ЭВМ дают следующие значения:

Аналогично получаются значения

Если бы задача состояла в определении значения с точностью с то вычисления следовало бы окончить после получения Результат был бы таким:

2. Интерполяция с испольэованнем схемы Эйткена.

Рассмотрим один из алгоритмов решения задачи интерполяции. Предполагается, что задана таблица значений функции Требуется при заданном х вычислить с помощью интерполяции значение с заданной точностью либо с максимально возможной при имеющейся информации точностью. Считается, что функция достаточно гладкая.

Обозначим через интерполяционный многочлен степени к с узлами интерполяции . В частности, положим . В этих обозначениях справедливо равенство

В самом деле, правая часть представляет собой многочлен степени . Непосредственная проверка показывает, что этот многочлен совпадает с у, в точках для значит, по определению равен

Удобный и экономичный способ вычисления значения многочлена лежащий в основе рассматриваемого алгоритма, дает схема Эйткена. Она заключается в последовательном вычислении с помощью формулы (11.56) элементов следующей таблицы:

Таблица 11.9 (см. скан)

Для решения поставленной задачи интерполяции при заданном значении узлы нумеруют в порядке возрастания их расстояния до точки х. Затем последовательно вычисляют значения Если при некотором оказывается,

что то полагают Если же для всех то полагают где k — степень, при которой достигается минимум оценки погрешности:

Пример 11.9. Для решения задачи из примера 11.8 воспользуемся схемой Эйткена. В этом случае (как и в примере После завершения вычислений табл. 11.9 принимает следующий вид:

Таблица 11.10 (см. скан)

Подчеркнутые числа дают те же, что и в примере 11.8, значения . Естественно, что теми же окажутся и значения

3. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями.

Пусть интерполируемая функция задана на таблице с постоянным шагом (т. е. ). В этом случае, используя формулу (11.51) связи между разделенными и конечными разностями и вводя безразмерную переменную многочлен Ньютона (11.52) можно записать в следующем виде:

Многочлен (11.57) называется интерполяционным многочленом Ньютона с конечными разностями для интерполяции вперед.

Заметим, что в формуле (11.57) используются только конечные разности, расположенные в верхней косой строке табл. 11.2. Можно использовать конечные разности, расположенные и в нижней косой строке табл. 11.2, записав многочлен в виде интерполяционного многочлена Ньютона с конечными разностями для интерполяции назад:

Здесь