В случае, когда
или
ее можно уточнить. Действительно, как нетрудно установить,
если
следовательно,
Заметим, что в оценках
величины
можно заменить на
Чтобы убедиться в этом, достаточно разделить левую и правую части оценок на величины
которые равны между собой. Например, оценка (4.28) преобразуется к виду
и, следовательно, абсолютное и относительное числа обусловленности здесь совпадают.
Сделаем некоторые выводы. Задача вычисления корня х уравнения
плохо обусловлена, если
и 1. В этом случае следует ожидать, что количество верных цифр корня х по сравнению с количеством верных цифр в вычисляемых значения
должно быть меньше примерно на
цифр. Для радиуса интервала неопределенности
корня х в случае
справедлива оценка
В случае, когда
уточненная оценка такова:
здесь потери верных цифр быть не должно.
Пример 4.9. Для уравнения
при
имеем
и, следовательно,
Поэтому при решении этого уравнения методом простой итерации на ЭВМ будет потеряно примерно четыре значащих цифры. Вычисления на
-разрядной десятичной ЭВМ (или на близкой ей по точности ЭВМ типа IBM PC) могут дать в таком случае всего лишь две верные значащие цифры. Это вполне согласуется с результатом, полученным в примере 4.6.
2. Чувствительность метода простых итераций к погрешности вычислений.
Сформулируем основной результат данного параграфа.
Теорема 4.5. Пусть выполнены условия теоремы 4.2 и для всех
имеет место неравенство
Объединяя эту оценку с оценкой (4.19), получаем
Поэтому
Нужное утверждение доказано для номера, равного
а следовательно, и для всех
Вычитая из равенства (4.27) равенство (4.17), получаем
Таким образом,
Из полученного равенства вытекает оценка
Итак, итерационный процесс не ухудшает обусловленность корня х. Как оказывается, гарантированная точность метода простой итерации ограничена снизу величиной, примерно совпадающей с радиусом в интервала неопределенности. Критерий (4.23) окончания итераций применим, если
Входящую в соотношения (4.29), (4.30) величину
в общем случае оценить сверху достаточно сложно. Оценка снизу очевидна:
. В благоприятной ситуации, когда вычисления ведутся по простым формулам, можно надеяться на то, что
окажется величиной порядка