§ 4.5. Обусловленность метода простой итерации

В § 4.4 метод простой итерации был рассмотрен при идеальном предположении о возможности точного вычисления значений функции В действительности же вычисления на ЭВМ дают приближенные значедия Поэтому вместо последовательности удовлетворяющей равенству получается последовательность для которой

Известно, что метод простой итерации и многие другие итерационные методы устойчивы к ошибке, допущенной на одной из итераций. Такая ошибка эквивалентна некоторому ухудшению очередного приближения; если она не вывела приближение за пределы области сходимости, то итерационная последовательность по-прежнему будет сходиться к решению х, а внесенная ошибка — затухать. Поэтому о таких итерационных методах говорят, что они обладают свойством самоисправляемости.

Однако погрешности допускаются не на одной, а на всех итерациях и совокупное их влияние несколько иное.

1. Обусловленность задачи.

Прежде чем сформулировать результат о поведении метода простой итерации при наличии погрешности в вычислении функции отметим, что преобразование уравнения к виду изменяет обусловленность задачи. Запишем это уравнение в виде где и воспользуемся результатами § 4.2. Заметим, что поскольку в действительности приближенно вычисляется только. функция Поэтому оценка (4.11) в данном случае выглядит так:

Здесь абсолютное число обусловленности корня х. Грубо оценивая при выполнении условия величину числом приходим к оценке

В случае, когда или ее можно уточнить. Действительно, как нетрудно установить, если следовательно,

Заметим, что в оценках величины можно заменить на Чтобы убедиться в этом, достаточно разделить левую и правую части оценок на величины которые равны между собой. Например, оценка (4.28) преобразуется к виду

и, следовательно, абсолютное и относительное числа обусловленности здесь совпадают.

Сделаем некоторые выводы. Задача вычисления корня х уравнения плохо обусловлена, если и 1. В этом случае следует ожидать, что количество верных цифр корня х по сравнению с количеством верных цифр в вычисляемых значения должно быть меньше примерно на цифр. Для радиуса интервала неопределенности корня х в случае справедлива оценка В случае, когда уточненная оценка такова: здесь потери верных цифр быть не должно.

Пример 4.9. Для уравнения при имеем и, следовательно, Поэтому при решении этого уравнения методом простой итерации на ЭВМ будет потеряно примерно четыре значащих цифры. Вычисления на -разрядной десятичной ЭВМ (или на близкой ей по точности ЭВМ типа IBM PC) могут дать в таком случае всего лишь две верные значащие цифры. Это вполне согласуется с результатом, полученным в примере 4.6.

2. Чувствительность метода простых итераций к погрешности вычислений.

Сформулируем основной результат данного параграфа.

Теорема 4.5. Пусть выполнены условия теоремы 4.2 и для всех имеет место неравенство

Предположим также, что величина достаточно мала).

Если вычисления по формулам (4.16) и (4.27) начинаются с одного начального приближения то последовательность не выходит за пределы -окрестности корня х и для всех справедливы следующие оценки погрешности:

Здесь

Замечание 1. В случае в неравенствах можно положить

Замечание 2. При достаточно больших в оценках величину можно считать приближенно равной радиусу интервала неопределенности

Докажем по индукции, что для всех справедливы неравенства (4.32), (4.33) и Очевидно, что при это верно.

Предположим, что доказываемое утверждение справедливо при некотором Вычитая из равенства (4.27) равенство (4.16), получаем

где Как следствие полученного равенства и сделанных предположений, имеем

Объединяя эту оценку с оценкой (4.19), получаем

Поэтому

Нужное утверждение доказано для номера, равного а следовательно, и для всех

Вычитая из равенства (4.27) равенство (4.17), получаем

Таким образом,

Из полученного равенства вытекает оценка

Итак, итерационный процесс не ухудшает обусловленность корня х. Как оказывается, гарантированная точность метода простой итерации ограничена снизу величиной, примерно совпадающей с радиусом в интервала неопределенности. Критерий (4.23) окончания итераций применим, если

Входящую в соотношения (4.29), (4.30) величину в общем случае оценить сверху достаточно сложно. Оценка снизу очевидна: . В благоприятной ситуации, когда вычисления ведутся по простым формулам, можно надеяться на то, что окажется величиной порядка