§ 13.3. Квадратурные формулы Гаусса

1. Построение квадратурных формул Гаусса.

Из результатов предыдущего параграфа следует, что квадратурная формула построенная интегрированием интерполяционного многого члена степени с фиксированными узлами точна для всех многочленов степени Однако, если имеется свобода в выборе узлов, то можно распорядиться ею так, чтобы получить формулу, точную для всех многочленов некоторой степени, превышающей

Поставим следующую задачу: при заданном числе узлов построить квадратурную формулу, точную для многочленов наиболее высокой степени. Формулы, удовлетворяющие этому условию, принято называть квадратурными формулами Гаусса. Как правило, сначала строят формулы Гаусса

для стандартного отрезка Затем с помощью замены переменной а осуществляют переход к формулам интегрирования на произвольном отрезке:

Заметим, что формула (13.20) точна для многочленов степени тогда и только тогда, когда она точна для функций Это эквивалентно тому, что узлы и веса а, формулы (13.20) должны удовлетворять системе нелинейных уравнений

Можно показать, что система (13.22) имеет единственное решение

(причем ) тогда и только тогда, когда число уравнений системы совпадает с числом неизвестных, т.е. в случае

Пример 13.3. Построим квадратурную формулу Гаусса (13.20) с двумя узлами.

В этом случае, т.е. при система (13.22) примет вид

Решая ее, находим значения Таким образом, получаем квадратурную формулу Гаусса

точную для многочленов третьей степени.

Для квадратурной формулы Гаусса справедлива следующая оценка погрешности:

Входящий в нее коэффициент очень быстро убывает с ростом Приведем, например, несколько первых его значений:

Можно было бы разбить отрезок интегрирования на частичные отрезки и исходя из формулы Гаусса построить составную формулу, имеющую порядок точности, равный Однако при интегрировании достаточно гладких функций в этом нет необходимости, так как уже при небольшом числе узлов формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность. На практике используются и формулы с десятками и сотнями узлов.

2. Узлы и веса квадратурной формулы Гаусса.

Приведем значения узлов и весов квадратурной формулы Гаусса с числом узлов от 1 до 6 (табл. 13.2):

Таблица 13.2 (см. скан)

Пример 13.4. Найдем значение интеграла используя квадратурную формулу Гаусса с двумя, тремя и четырьмя узлами.

В данном случае и формула (13.21) принимает вид

Взяв из табл. 13.2 значения узлов и весов при получим следующие приближения:

Эти значения содержат такие абсолютные погрешности: Для сравнения укажем, что значение того же интеграла, полученное в примере 13.2 по формуле прямоугольников с 10 узлами, имеет абсолютную погрешность примерно а по формуле Симпсона с 21 узлом — абсолютную погрешность примерно

3. Обусловленность квадратурных формул Гаусса.

Квадратурные формулы Гаусса обладают еще одним замечательным свойством: их весовые коэффициенты всегда положительны. Это свойство (как следует из рассуждений предыдущего параграфа) гарантирует хорошую обусловленность квадратурной формулы. Более того, число обусловленности равно и не зависит от числа узлов. Это позволяет применять на практике квадратурные формулы Гаусса с числом узлов, достигающим сотен.