§ 13.6. Дополнительные замечания

1 Мы не рассматриваем проблему вычисления кратного интеграла

поскольку это потребовало бы привлечения достаточно сложного математического аппарата. Ограничимся указанием на то, что в принципе вычисление интегралов (13.56) можно проводить методами, аналогичными рассмотренным в этой главе. Соответствующие кубатурные формулы для вычисления кратных интегралов имеют вид

Среди формул (13.57) есть кубатурные формулы интерполяционного типа и кубатурные формулы Гаусса. Иногда для вычисления кратного интеграла оказывается целесообразным сведение его к повторному вычислению однократных интегралов. Для первоначального знакомства с методами вычисления кратных интегралов можно рекомендовать книги [9], [43].

2. Вычисление кратных интегралов уже при не очень больших значениях является очень сложной задачей. Применение для вычисления таких интегралов кубатурных формул типа (13.57) требует (даже при очень скромных запросах к точности) такого большого числа вычислений значений функции что решение задачи даже при использовании самых современных ЭВМ становится нереальным. Привлекательной альтернативой в такой ситуации становится использование метода Монте-Карло. Простейшее представление об этом методе (на примере вычисления однократного интеграла) можно получить из учебника [21]. Мы все же рекомендуем обратиться и к весьма содержательному обсуждению метода Монте-Карло, проведенному в книге [9].

3. Иногда возникает необходимость по известной функции заданной на отрезке восстановить ее первообразную

При каждом фиксированном х функцию (13.58) можно рассматривать как определенный интеграл вида (13.1) и вычислять с помощью одного из известных методов. Однако если требуется находить значения в большом числе различных точек, то такой подход становится нецелесобразным. Оказывается более выгодным разбить отрезок на элементарные отрезки точкой а затем составить таблицу значений Значения можно найти, например, по формуле Здесь приближение к интегралу полученное с помощью одной из квадратурных формул. Значение в любой из промежуточных точек можно затем приближенно восстановить, используя интерполяцию. Так как значения фактически также известны, то весьма подходящим для интерполяции на каждом элементарном отрезке является кубический многочлен Эрмита (см. § 11.5). Использование этого способа интерполяции позволяет находить значения с довольно высокой точностью по сравнительно редкой таблице значений.

4. В данной главе в основном обсуждались не вычислительные алгоритмы, а методы дискретизации, т.е. методы замены определенных интегралов соответствующими квадратурными суммами. Как бы ни был организован алгоритм, он все же предполагает вычисление квадратурной суммы. С увеличением числа слагаемых возрастает влияние вычислительной погрешности на результат суммирования. При очень больших значениях даже для хорошо обусловленных квадратурных формул соответствующий вычислительный алгоритм может стать плохо обусловленным. Тем не менее при умеренном значении числа узлов влияние ошибок округления невелико и им часто можно пренебречь.