Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 8.2. Степенной методПусть требуется вычислить максимальное по модулю собственное значение
Замечание. Собственное значение 1. Степенной метод без сдвигов.Опишем простейший вариант степенного метода, применяемого для вычисления А. Возьмем произвольный начальный вектор
Замечание. Правая часть формулы (8.14) — это просто отношение Рэлея, вычисленное при Справедлива следующая теорема. Теорема 8.11. Пусть А — матрица простой структуры, для которой выполнено условие (8.12). Предположим, что в разложении
по базису из собственных векторов коэффициент
Как легко установить, вектор А (отсюда и название метода). Так как
Положим
Так как для всех
Теперь нетрудно установить, что
при
Используя неравенство Коши-Буняковского
Из равенства (8.19) и оценок (8.18), (8 20) следует, что
Замечание 1. В действительности теорема 8 11 справедлива для произвольных матриц, удовлетворяющих условию (8.12). Предположение о том, что матрица А — простой структуры, потребовалось лишь для упрощения доказательства. Замечание 2. Если
Предполагается, что Теорема 8.11 для метода (8.21) остается справедливой. Более того, последовательность Замечание 3. Крайне маловероятно, чтобы в разложении (8.15) вектора 2. Апостериорная оценка погрешности.В общем случае для решения проблемы собственных значений не существует эффективных апостериорных оценок погрешности, в особенности для собственных векторов Более простой эта проблема выглядит для симметричных матриц Для оценки погрешности приближения А к собственному значению А симметричной матрицы полезно использовать следующую теорему. Теорема 8.12. Пусть А — произвольное число,
Если
(напомним, что здесь предполагается симметричность матрицы А). Пусть Теорема 8.13. Пусть А — ближайшее к
Здесь Приведем еще одно важное свойство симметричных матриц. Теорема 8.14. Пусть А — симметричная матрица,
Оценка (8.23) может оказаться очень полезной для обратного анализа ошибок (о существе такого подхода к анализу ошибок мы говорили в § 3.6). Например, очень часто матрица А, для которой на ЭВМ производится вычисление собственных значений, является лишь приближенным представлением "истинной" матрицы А, собственными значениями и векторами которой в действительности и интересуется исследователь. Пусть известен порядок погрешности Пример 8.5. Используя степенной метод, найдем для матрицы (8.5) максимальное по модулю собственное значение Возьмем 1 итерация. Вычисляем Тогда Далее, Результаты десяти первых итераций с шестью знаками мантиссы приведены в табл 8.1. Таблица 8.1 (см. скан) Продолжение табл. 8.1 (см. скан) Хотя мы не имеем в данном случае обоснованного критерия окончания, по-видимому, при Важными достоинствами степенного метода являются его простота, возможность эффективного использования разреженности матрицы и отсутствие необходимости преобразования матрицы А. Недостаток метода в применении к многим прикладным задачам — довольно медленная сходимость. Часто в приложениях значение 3. Степенной метод со сдвигами.Существует несколько способов преодоления указанной трудности. Один из них заключается в применении степенного метода не к матрице После того как приближение А к собственному значению вычислено, степенной метод можно использовать для вычисления очередного собственного значения. Один из приемов такого использования состоит в сдвиге собственных значений на
Существует несколько способов избавления от уже вычисленных собственных чисел и соответствующих собственных векторов с целью избежать их повторного вычисления. Эти способы принято называть исчерпыванием. Более подробную информацию о них можно найти, например, в [19], [62].
|
1 |
Оглавление
|