§ 14.8. Устойчивость численных методов решения задачи Коши

Как в теории численных методов решения задачи Коши, так и в практическом плане вопросы об устойчивости методов к малым ошибкам задания начальных данных и правой части уравнения, а также об устойчивости к погрешностям вычислений являются одними из центральных. Рассмотрим некоторые естественные требования устойчивости, которые накладываются на дискретные методы

Уделим сначала основное внимание исследованию устойчивости дискретной задачи Коши для уравнения (14.83) к малым погрешностям в начальных данных. Пусть решение дискретной задачи, соответствующее начальным значениям решение той же задачи, соответствующее начальным значениям Если отрезок на котором ищется решение, и шаг фиксированы, то для всякого приемлемого метода решения задачи Коши его решение непрерывным образом зависит от начальных значений. Более того, если погрешности задания начальных данных достаточно малы, то ошибку значений у можно оценить следующим образом:

Величина входящая в правую часть неравенства (14.84), играет роль числа обусловленности метода. Подчеркнем, что в общем случае она зависит как от так и от

1. Нуль—устойчивость.

Будем стремиться к тому, чтобы при достаточно малых значениях шага дискретная задача Коши не только имела близкое к решение но и обладала другими важными свойствами, аналогичными свойствам исходной задачи. В силу неравенства (14.11) ошибка, внесенная в начальное значение задачи Коши, на отрезке возрастает не более, чем в раз (где вообще говоря, растет с ростом Поэтому в общем случае рост величин с ростом также допустим. Однако если коэффициент может неограниченно возрастать при то уменьшение шага приведет не к уточнению решения, а, наоборот, к неограниченному росту погрешности. Таким образом, следует потребовать, чтобы для дискретной задачи Коши при всех достаточно малых было выполнено неравенство

где не зависит от

Методы, для которых неравенство (14.85) выполнено в случае, когда решается задача Коши для однородного уравнения будем называть нуль-устойчивыми.

Чтобы отбросить те из методов (14.83), которые заведомо не обладают свойством нуль—устойчивости, применим метод (14.83) к решению задачи Коши для уравнения . В этом случае и уравнение (14.83) принимает вид

Такие уравнения называют линейными однородными разностными уравнениями порядка с постоянными коэффициентами.

Пусть решение того же уравнения, соответствующее возмущенным начальным значениям Тогда в силу линейности уравнения погрешность также является его решением:

Будем искать частное решение уравнения (14.87) в виде Подставляя в (14.87), и сокращая на

общий множитель видим, что величина должна удовлетворять уравнению

которое называют характеристическим уравнением, соответствующим методу (14.83). Многочлен называется характеристическим многочленом.

Приведем некоторые факты, известные из теории линейных разностных уравнений. Пусть корень уравнения (14.88) (вообще говоря, комплексный). Тогда сеточная функция является решением разностного уравнения (14.87). Если же кратный корень кратности то ему отвечают частные решения Опишем теперь структуру общего решения разностного уравнения. Пусть корни характеристического уравнения, а их кратности к). Тогда всякое решение уравнения (14.87) может быть представлено в виде

В частности, если все корни простые, то для всякого решения уравнения (14.87) справедливо представление

Оказывается, что наличие или отсутствие у метода (14.83) нуль-устойчивости определяется исключительно расположением корней характеристического уравнения.

Будем говорить, что выполнено корневое условие, если все корни характеристического уравнения лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости удовлетворяют условию причем на границе единичного круга нет кратных корней. Заметим, что в силу равенства (14.30) число всегда является корнем характеристического уравнения.

Теорема 14.9. Для того чтобы метод (14.83) обладал нуль-устойчивостью, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось корневое условие.

Ограничимся доказательством необходимости выполнения корневого условия. Предположим, что метод обладает свойством нуль-устойчивости,

а корневое условие не выполнено. Тогда характеристическое уравнение имеет либо корень такой, что либо корень кратности такой, что . В первом случае сеточная функция со значениями есть решение разностного уравнения (14.87), соответствующее заданию начальных значений Во втором случае решением, соответствующим заданию начальных значений является функция со значениями в том, и в другом случаях благодаря выбору начальные погрешности могут быть сделаны сколь угодно малыми, но в то же время при

Учитывая, что при получим при т.е. неравенство (14.85) не может выполняться для всех Итак, необходимость корневого условия доказана.

Теорема 14.10. Методы Рунге-Кутты и Адамса обладают свойством нуль-устойчивости.

Методам Рунге-Кутты соответствует однородное разностное уравнение а ему, в свою очередь — характеристическое уравнение Последнее имеет один простой корень т.е. корневое условие выполнено.

Аналогично, -шаговому методу Адамса соответствует разностное уравнение а ему — характеристическое уравнение Последнее имеет один простой корень и корень кратности , т.е. корневое условие здесь также выполняется.

Пример 14.17. Рассмотрим метод

имеющий второй порядок аппроксимации. Попытаемся применить его для численного решения задачи Коши Заметим, что функция является ее решением.

Возьмем шаг Положим и в качестве второго начального значения, необходимого для расчета по методу (14.90), примем Так как то абсолютная погрешность значения не превышает

График полученного приближения изображен на рис. 14.13. При погрешность уже становится заметной. Далее она быстро развивается и при t и 1.4 потеря точности становится катастрофической. Попытка увеличить точность решения за счет уменьшения шага вдвое приводит лишь к еще более быстрому нарастанию погрешности. Полная потеря точности происходит здесь уже при Проверим теперь, выполняется ли для метода (14.90) корневое условие. Характеристическое уравнение имеет вид

Рис. 14.13

Корнями уравнения являются числа Так как то корневое условие нарушено. Отсутствие у метода (14.90) нуль-устойчивости и служит причиной наблюдаемого неконтролируемого роста погрешности. Такого рода колебания приближенного решения, вызванные ростом погрешности, иногда называют четно—нечетной болтанкой.

Таким образом, для того чтобы численный метод можно было использовать на практике, необходимо, чтобы он был нуль—устойчивым. Игнорирование этого требования даже для методов, обладающих высоким порядком аппроксимации, приводит к катастрофической потере точности.

Оказывается, что для линейных многошаговых методов выполнение корневого условия гарантирует не только нуль-устойчивость метода, но и устойчивость метода на конечном отрезке по начальным значениям и правой части в смысле определения устойчивости (14.28), введенного в § 14.2.

Теорема 14.11. Пусть выполнено условие Предположим, что линейный многошаговый метод (14.82) удовлетворяет корневому условию и при (т.е. для неявною метода) выполнено дополнительное условие на шаг: метод (14.82) устойчив на конечном отрезке.

Доказательство этой теоремы можно найти в [71]

2. Абсолютная устойчивость.

Как уже отмечалось в § 14.1, необходимость решения задачи Коши на больших временных отрезках возникает в самых различных областях науки и техники. Наибольший интерес в этих случаях представляет изучение устойчивых решений. Отметим, что нуль—устойчивость гарантирует устойчивое развитие погрешностей при только в том случае, когда отрезок интегрирования фиксирован Однако наличие нуль—устойчивости вовсе не исключает того, что сколь угодно малая погрешность в начальных значениях при неограниченном росте (при может приводить к сколь угодно большой погрешности решения. Значительную часть таких заведомо непригодных для решения задачи Коши на больших временных отрезках методов можно отбросить, если исследовать результат их применения к решению модельной задачи

Напомним (см. § 14.1), что решение этой задачи устойчиво по Ляпунову, если комплексный параметр А удовлетворяет условию и асимптотически устойчиво, если

Большинство используемых дискретных методов (в том числе и методы Рунге-Кутты и Адамса) в применении к задаче (14.91) становятся линейными и приобретают вид

Здесь некоторые зависящие от величины функции. В силу линейности уравнения (14.92) ошибка

возникающая из-за погрешностей в начальных значениях, удовлетворяет тому же уравнению:

Перепишем это уравнение в виде

где Заметим, что (14.93) — это линейное однородное разностное уравнение. Поэтому для того чтобы при фиксированном погрешность оставалась ограниченной при необходимо и достаточно выполнение корневого условия для отвечающего уравнению (14.93) полинома.

Назовем метод (14.83) абсолютно устойчивым для данного если при этом все корни полинома устойчивости

лежат в комплексной плоскости внутри единичного круга и на границе этого круга нет кратных корней. Множество точек комплексной плоскости, состоящее из тех для которых метод абсолютно устойчив, называют областью абсолютной устойчивости метода.

Пример 14.18. Найдем область абсолютной устойчивости метода Эйлера. Применительно к модельному уравнению расчетная формула метода Эйлера принимает вид Запишем соответствующее разностное уравнение для погрешности

и заметим, что полином устойчивости имеет один простой корень Область абсолютной устойчивости состоит здесь из тех для которых и представляет собой в комплексной плоскости круг единичного радиуса с центром в точке (рис. 14.14, а).

Тот же результат нетрудно установить, не используя полином устойчивости и корневое условие. Действительно, из уравнения (14.95) следует, что Поэтому при если . В этом случае метод не является устойчивым. Наоборот, если то и метод устойчив.

Рис. 14.14

Пример 14.19. Найдем области абсолютной устойчивости для неявного метода Эйлера (14.24), правила трапеций (14.25), метода Эйлера-Коши (14.61) и усовершенствованного метода Эйлера (14.62).

Применительно к модельному уравнению неявный метод Эйлера принимает вид Соответствующий полином устойчивости имеет единственный корень Условие эквивалентно здесь условию Таким образом, область устойчивости представляет собой внешнюю часть единичного круга с центром в точке (рис. 14.14, б).

Для правила трапеций полином устойчивости имеет корень Условие эквивалентно здесь неравенству Поэтому область устойчивости представляет собой левую полуплоскость (рис. 14.14, в).

Применительно к уравнению расчетные формулы методов (14.61) и (14.62) совпадают: Корнем полинома устойчивости является Область абсолютной устойчивости изображена на рис. 14.14, в Для сравнения на рис. 14.14, д схематично изображена область абсолютной устойчивости метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности.

Предположим, что параметр А, входящий в модельное уравнение (14 91), отрицателен. Тогда условие абсолютной устойчивости метода Эйлера оказывается экзивалентным неравенству

Такое же ограничение на шаг возникает при использовании метода Эйлера-Коши и усовершенствованного метода Эйлера. В то же время метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности оказывается абсолютно устойчивым при выполнении чуть менее ограничительного условия

Отметим, что при неявный метод Эйлера и правило трапеций оказываются абсолютно устойчивыми при любых

3. А-устойчивость.

Для того чтобы исключить ограничение на шаг при решении устойчивой по Ляпунову модельной задачи (14.91), необходимо потребовать, чтобы область абсолютной устойчивости метода включала в себя полуплоскость Лег Численный метод, обладающий таким свойством, называют -устпойчиоым.

Примерами -устойчивых методов служат неявный метод Эйлера и правило трапеций. В то же время метод Эйлера и метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности не являются -устойчивыми.