Глава 11. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ

В этой главе рассматриваются наиболее важные и часто встречающиеся в приложениях методы приближения функций одной переменной. Значительное внимание уделено интерполяции, причем рассматривается интерполяция не только алгебраическими многочленами, но и тригонометрическими многочленами, а также интерполяция сплайнами. Довольно подробно обсуждается метод наименьших квадратов, широко используемый в практике инженерных расчетов. Дается понятие о наилучшем равномерном приближении и дробно-рациональных аппроксимациях.

В главу включены также некоторые вопросы вычислительной математики, имеющие непосредственное отношение к методам аппроксимации (приближения) функций. Это конечные и разделенные разности, многочлены Чебышева, быстрое дискретное преобразование Фурье.

§ 11.1. Постановка задачи приближения функций

Вычисление значения функции одна из тех задач, с которой постоянно на практике приходится сталкиваться. Естественно, что при решении на ЭВМ серьезных задач желательно иметь быстрые и надежные алгоритмы вычисления значений используемых функций. Для элементарных, а также для основных специальных функций такие алгоритмы разработаны, реализованы в виде стандартных программ и включены в математическое обеспечение ЭВМ. Однако в расчетах нередко используются и другие функции, непосредственное вычисление которых затруднено либо приводит к слишком большим затратам машинного времени. Укажем на некоторые типичные ситуации.

1. Функция задана таблицей своих значений:

а вычисления производятся в точках х, не совпадающих с табличными.

2. Непосредственное вычисление значения связано с проведением сложных расчетов и приводит к значительным затратам машинного времени, которые могут оказаться неприемлемыми, если функция вычисляется многократно.

3. При заданном значении х значение может быть найдено из эксперимента. Ясно, что такой способ "вычисления" в большинстве случаев нельзя использовать в вычислительных алгоритмах, так как он связан с необходимостью прерывания вычислительного процесса для проведения эксперимента. В этой ситуации экспериментальные данные получают до начала вычислений на ЭВМ. Нередко они представляют собой таблицу типа (11.1) с тем отличием, что табличные значения у отличаются от "истинных" значений так как заведомо содержат ошибки эксперимента.

Возникающие проблемы нередко удается решить следующим образом. Функцию приближенно заменяют другой функцией вычисляемые значения которой и принимают за приближенные значения функции Конечно, такая замена оправдана лишь тогда, когда значения вычисляются быстро и надежно, а погрешность приближения достаточно мала. Обсудим кратко некоторые вопросы, с которыми в каждом конкретном случае приходится сталкиваться при выборе постановки задачи приближения и метода ее решения.

1°. Необходимо решить, какую информацию о функции можно использовать как входные данные для вычисления приближения Например, часто известна или может быть получена таблица значений функции вида (111), а иногда — и таблица ее производных. В некоторых случаях можно использовать информацию о значениях функции 8а всем отрезке

2°. Полезно иметь некоторую дополнительную априорную информацию об аппроксимируемой функции. Часто она бывает качественного характера, например известно, что функция "достаточно гладкая" ("плавно меняющаяся"), периодическая, монотонная, четная и т. п. Иногда удается получить некоторые количественные характеристики функции например, бывают известны верхние оценки для максимума

модуля некоторых ее производных, величина периода, оценка уровня погрешности в заданных значениях.

3°. Знание свойств функции позволяет осознанно выбирать класс аппроксимирующих функций. Часто такой класс представляет собой параметрическое семейство функций вида а и выбор конкретной аппроксимирующей функции осуществляется с помощью выбора параметров во, Широко используются классы функций вида

являющихся линейными комбинациями фиксированного набора некоторых базисных функций Функцию часто называют обобщенным многочленом по системе функций а число его степенью.

Если в качестве базисных функций берутся степенные функции возникает задача приближения алгебраическими многочленами

Отметим, что методы приближения функций алгебраическими многочленами играют важную роль в численном анализе и наиболее глубоко разработаны. Одна из причин этого состоит в том, что многочлены (11.3) легко вычисляются, без труда дифференцируются и интегрируются.

Тригонометрические многочлены

часто используемые для аппроксимации периодических на отрезке функций, также могут быть записаны в виде (11.2), если в качестве базисных функций выбрать функции Используя формулу Эйлера можно записать тригонометрический многочлен (11.4) в виде

что соответствует выбору базисных функций

Используются также и некоторые нелинейные комбинации функций, отличные от (11.2). Например, в ряде случаев эффективным является использование класса дробно-рациональных функций

Выбор класса аппроксимирующих функций осуществляется с учетом того, насколько хорошо может быть приближена функция функциями из этого класса.

4°. Необходим критерий выбора в классе конкретной аппроксимирующей функции являющейся в смысле этого критерия наилучшим приближением к Например, требование совпадения функции с функцией в некоторых фиксированных точках приводит к задаче интерполяции. Другой распространенный критерий — требование минимизации среднеквадратичного уклонения — лежит в основе метода наименьших квадратов. Существует большое число других критериев, естественных в конкретных прикладных проблемах.

5°. Важно понимать, что решение указанных выше вопросов тесно связано с тем, как мы собираемся использовать приближение и какая точность нам нужна.

Замечание. Задачу выбора в классе конкретной приближающей функции можно рассматривать как задачу идентификации (см. § 1.1), если интерпретировать функцию как математическую модель реальной функциональной зависимости