Глава 5. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

§ 5.1. Постановка задачи

В вычислительной линейной алгебре выделяют четыре основные задачи: 1) решение систем линейных алгебраических уравнений; 2) вычисление определителей; 3) нахождение обратных матриц; 4) определение собственных значений и собственных векторов. Задачи 2 и 3 обсуждаются в § 5.6, последней по порядку (но не по значению) задаче 4 посвящена гл. 8.

В основном же данная глава посвящена задаче 1, а более точно — прямым методам решения систем линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами:

В матричной форме записи эта система принимает вид

где

Итерационные методы решения системы (5.1) будут рассмотрены в гл. 6.

Уделим основное внимание задаче вычисления вектора х, являющегося решением системы (5.2), по входному данному — вектору Будем предполагать, что матрица А задана и является невырожденной. Известно, что в этом случае решение системы существует, единственно и устойчиво по входным данным. Это означает, что рассматриваемая задача корректна.

Хотя задача решения системы (5.1) сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Как будет видно из дальнейшего изложения, значительная часть численных методов решения различных (в особенности — нелинейных) задач включает в себя решение систем (5.1) как элементарный шаг соответствующего алгоритма.

Пусть приближенное решение системы (5.1).

В этой и следующих главах мы будем стремиться к получению решения, для которого погрешность мала (количественные характеристики "величины" погрешности будут введены в следующем параграфе). Тем не менее заметим, что качество полученного решения далеко не всегда характеризуется тем, насколько мала погрешность Иногда вполне удовлетворительным является критерий малости невязки Вектор показывает, насколько отличается правая часть системы от левой, если подставить в нее приближенное решение. Заметим, что и поэтому погрешность и невязка связаны равенством