§ 14.11. Жесткие задачи

1. Понятие о жестких задачах.

В последние годы при решении задачи Коши явными методами Рунге-Кутты и Адамса значительное число исследователей сталкивается с весьма неожиданным и неприятно яичгнием. Несмотря на медленное изменение искомых функций расчет приходится вести, казалось бы, с неоправданно мелким шагом попытки увеличить шаг и тем самым уменьшить время решения задачи приводят лишь к катастрофически большому росту погрешности. Обладающие таким свойством задачи получили название жестких. Сразу же подчеркнем, что жесткость является свойством задачи Коши (а но используемых численных методов).

Жесткие задачи встречаются в самых различных областях науки и техники. Традиционными источниками появления таких задач являются химическая кинетика, теория ядерных реакторов, теория автоматического управления, электротехника, электроника и т.д. Жесткие задачи «гитшкают также при аппроксимации начально-краевых задач

для уравнений в частных производных с помощью полудискретных методов (методов прямых).

Трудности, возникающие при численном решении жестких задач, продемонстрируем на таком примере.

Пример 14.22. Вычислим значения приближенного решения задачи Коши

используя метод Эйлера. Решением этой задачи является функция Как нетрудно видеть (рис. 14.16), на начальном переходном участке решение быстро меняется. Однако уже через небольшой интервал времени переходная часть решения практически исчезает и решение становится медленно меняющимся.

Рис. 14.16

Естественно, что приближенное решение на переходном участке приходится вычислять, используя достаточно мелкий шаг. Однако при когда переходная часть решения, казалось бы, уже практически отсутствует, возникает желание перейти к вычислению со сравнительно крупным шагом.

Предположим, что при найдено значение решения у (0.2) в 0.205 с точностью Возьмем шаг и будем вычислять решение при используя метод Эйлера:

Полученные значения приближений и точные значения решения приведены в первых трех столбцах табл. 14.6. Соответствующая ломаная Эйлера изображена на рис. 14.16. Как нетрудно видеть, метод ведет себя неустойчивым образом и оказывается непригодным для решения рассматриваемой задачи при значении шага На конкретном примере мы убедились в том, что условие абсолютной устойчивости (14.95) нарушать нельзя. В рассматриваемом случае и это условие равносильно требованию Взяв удовлетворяющий этому условию шаг получим вполне приемлемое решение (см табл. 14.6).

Таблица 14.6 (см. скан)

Попробуем теперь воспользоваться для решения задачи (14 128) неявным методом Эйлера:

Напомним, что он -устойчив и, следовательно, абсолютно устойчив для всех значений Используя для нахождения решения формулу

(кликните для просмотра скана)

получим значения, совпадающие с соответствующими значениями решения с точностью (см. табл. 14.6). Если же нас устраивает точность то шаг можно утроить. Вычисленные с шагом значения также указаны в табл. 14.6.

Приведенная в примере ситуация типична для жестких задач. При использовании классических явных методов наличие в решении быстро меняющийся жесткой компоненты даже на том участке, где ее значение пренебрежимо мало, заставляет выбирать шаг из условия абсолютной устойчивости. Для жестких задач это ограничение приводит к неприемлемо малому значению шага Поэтому численное решение таких задач требует применения специальных неявных методов. Простейшим из них является неявный метод Эйлера. На рис. 14.17 и 14.18 проиллюстрировано принципиальное отличие результатов вычислений, осуществляемых с помощью явного и неявного методов Эйлера.

2. Жесткие задачи для систем дифференциальных уравнений.

Рассмотрим задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Предположим, что А — матрица простой структуры и все собственные числа этой матрицы имеют отрицательные вещественные части Как отмечалось в предыдущем параграфе, в этом случае решение задачи асимптотически устойчиво и представляется в виде

Если среди собственных чисел имеются числа с сильно различающимися значениями вещественных частей, то возникает проблема, связанная с наличием в решении у компонент, имеющих существенно различные временные постоянные Через довольно короткий интервал времени поведение решения будет определяться наиболее слабо меняющейся (медленной) компонентой решения. Так, если то при справедливо приближенное равенство и В то же время

применяемый для решения задачи Коши метод должен обладать свойствами устойчивости, позволяющими подавлять наиболее быстро меняющуюся (жесткую) компоненту погрешности

Отметим, что для медленной компоненты решения временной постоянной является величина а для жесткой компоненты погрешности — величина Их отношение и определяет степень жесткости задачи.

Приведем применительно к системе (14.129) одно из определений жесткости. Пусть для всех Определим число жесткости системы (14.129) с помощью формулы

Систему уравнений (14.129) назовем жесткой, если для нее

Пример 14.23. Рассмотрим систему

Собственные значения матрицы коэффициентов

таковы; Здесь число жесткости много больше единицы и поэтому систему можно квалифицировать как жесткую. Общее решение системы имеет вид

Начальным значениям отвечает решение

Жесткая компонента решения здесь быстро затухает и через очень небольшой интервал времени решение будет практически совпадать с

Решение этой задачи с помощью явных методов очень неэффективно. Например, для метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности условие устойчивости в данном случае приводит к необходимости использования очень мелкого шага

Замечание. В приведенном выше наиболее простом определении жесткости требовалось, чтобы для всех k. Более общие современные определения жесткости [9], [26] не исключают наличия собственных чисел с положительными вещественными частями при условии, что для них

В случае, когда матрица А зависит от t (т.е. решается система линейных уравнений с переменными коэффициентами), число жесткости также зависит от t и определяется по формуле (14.130), в которой уже Так как то система может оказаться жесткой на одном интервале времени t и нежесткой — на другом.

В настоящее время нет общепринятого математически корректного определения жесткости задачи Коши для системы нелинейных уравнений

Чаще всего эту задачу называют жесткой в окрестности точки если жесткой является соответствующая линеаризованная система

В подтверждение правомерности такого определения жесткости можно сослаться на то, что (см. предыдущий параграф) погрешность решения нелинейной системы удовлетворяет приближенному равенству и поэтому в малой окрестности точки (погрешности решений линеаризованной системы (14.132) и системы (14.131) должны вести себя примерно одинаковым образом.

К счастью, для того чтобы распознать жесткую задачу на практике, гасто совсем не обязательно проводить математически строгое ее исследование. Если система уравнений (14.131) правильно моделирует

реальное физическое явление, включающее процессы с существенно различными временными постоянными, то соответствующая задача Кяши должна быть жесткой. Как правило, исследователь проявляет интерес к изучению поведения медленно меняющихся характеристик процесса в течение длительного времени. Наличие же быстро меняющихся физических компонент при использовании классических явных методов решения задачи Коши заставляет его выбирать шаг порядка наименьшей из временных постоянных, что делает процесс численного решения чрезвычайно дорогостоящим и неэффективным. Существующие в настоящее время методы решения жестких задач позволяют использовать шаг порядка наибольшей из временных постоянных, подчиняя его выбор только требованию точности.

Замечание 1. В последнее время задачу не принято квалифицировать как жесткую на переходном участке. Если исследователь проявляет интерес к изучению переходного режима, то для нахождения решения на переходном участке могут оказаться вполне приемлемыми и явные методы Рунге-Кутты и Адамса.

Замечание 2. Обычно при определении жесткости делается явное или неявное предположение о том, что среди собственных чисел матрицы А отсутствуют такие, для которых Это означает, что предполагается отсутствие быстрых осцилляций в компонентах погрешности. Если же такие осцилляции возможны, то необходимо использовать специальные методы подавления соответствующих компонент погрешности.

3. Понятие о методах решения жестких задач.

Для решения жестких задач было бы желательно использовать -устойчивые методы, так как они не накладывают никаких ограничений на шаг А. Однако оказывается, что класс таких методов весьма узок. Например, среди явных линейных многошаговых методов нет -устойчивых. Доказано также, что среди неявных линейных многошаговых методов нет -устойчивых методов, имеющих порядок точности выше второго.

Многие из возникающих на практике жестких задач таковы, что для них собственные значения матрицы Якоби удовлетворяют неравенству где некоторое число. В частности, если все собственные значения вещественны и отрицательны, то указанное неравенство выполняется для любого сколь угодно малого

Для таких задач требование -устойчивости методов является чрезмерным и его можно заменить менее ограничительным требованием наличия у метода -устойчивости. Численный метод решения

задачи Коши называют -устойчиоым, если область его абсолютной устойчивости включает угол (рис. 14.19). В частности, при определение -устойчивости совпадает с определением -устойчивости.

Рис. 14.19

Рис. 14.20.

Известно, что среди явных линейных многошаговых методов нет -устойчивых ни при каком Однако среди неявных линейных многошаговых методов имеются -устойчивые методы высокого порядка точности. Важный класс таких методов (формул дифференцирования назад) относится к так называемым чисто неявным методам:

Чисто неявные методы получаются в результате замены в системе дифференциальных уравнений (14.131) при производной у (О ее разностной аппроксимацией, использующей значения функции в точках Если для этого используется односторонняя разностная производная (см. § 12.2), то получается формула дифференцирования назад.

Приведем формулы дифференцирования назад при , имеющие порядок точности

(это неявный метод Эйлера);

Напомним, что метод (14.133) является -устойчивым. Как видно из рис. 14.20, а и 14.20, б, для формул (14.134) и (14.135) области их абсолютной устойчивости почти целиком содержат левую полуплоскость Поэтому свойства устойчивости этих методов вполне достаточны для решения большинства жестких задач.

Весьма популярный и широко используемый при решении жестких задач алгоритм Гира основан на использовании формул дифференцирования назад порядка точности и представляет собой метод с автоматическим выбором шага интегрирования и порядка метода. Один из первых вариантов алгоритма реализован в фортранной программе