Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 14.11. Жесткие задачи1. Понятие о жестких задачах.В последние годы при решении задачи Коши явными методами Рунге-Кутты и Адамса значительное число исследователей сталкивается с весьма неожиданным и неприятно яичгнием. Несмотря на медленное изменение искомых функций расчет приходится вести, казалось бы, с неоправданно мелким шагом Жесткие задачи встречаются в самых различных областях науки и техники. Традиционными источниками появления таких задач являются химическая кинетика, теория ядерных реакторов, теория автоматического управления, электротехника, электроника и т.д. Жесткие задачи «гитшкают также при аппроксимации начально-краевых задач для уравнений в частных производных с помощью полудискретных методов (методов прямых). Трудности, возникающие при численном решении жестких задач, продемонстрируем на таком примере. Пример 14.22. Вычислим значения приближенного решения задачи Коши
используя метод Эйлера. Решением этой задачи является функция
Рис. 14.16 Естественно, что приближенное решение на переходном участке приходится вычислять, используя достаточно мелкий шаг. Однако при Предположим, что при
Полученные значения приближений и точные значения решения приведены в первых трех столбцах табл. 14.6. Соответствующая ломаная Эйлера изображена на рис. 14.16. Как нетрудно видеть, метод ведет себя неустойчивым образом и оказывается непригодным для решения рассматриваемой задачи при значении шага Таблица 14.6 (см. скан) Попробуем теперь воспользоваться для решения задачи (14 128) неявным методом Эйлера:
Напомним, что он (кликните для просмотра скана)
Приведенная в примере ситуация типична для жестких задач. При использовании классических явных методов наличие в решении быстро меняющийся жесткой компоненты даже на том участке, где ее значение пренебрежимо мало, заставляет выбирать шаг 2. Жесткие задачи для систем дифференциальных уравнений.Рассмотрим задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Предположим, что А — матрица простой структуры и все собственные числа этой матрицы имеют отрицательные вещественные части
Если среди собственных чисел применяемый для решения задачи Коши метод должен обладать свойствами устойчивости, позволяющими подавлять наиболее быстро меняющуюся (жесткую) компоненту
Отметим, что для медленной компоненты решения временной постоянной является величина Приведем применительно к системе (14.129) одно из определений жесткости. Пусть
Систему уравнений (14.129) назовем жесткой, если для нее Пример 14.23. Рассмотрим систему
Собственные значения матрицы коэффициентов
таковы;
Начальным значениям
Жесткая компонента решения здесь быстро затухает и через очень небольшой интервал времени решение будет практически совпадать с Решение этой задачи с помощью явных методов очень неэффективно. Например, для метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности условие устойчивости Замечание. В приведенном выше наиболее простом определении жесткости требовалось, чтобы В случае, когда матрица А зависит от t (т.е. решается система линейных уравнений с переменными коэффициентами), число жесткости также зависит от t и определяется по формуле (14.130), в которой уже В настоящее время нет общепринятого математически корректного определения жесткости задачи Коши для системы нелинейных уравнений
Чаще всего эту задачу называют жесткой в окрестности точки
В подтверждение правомерности такого определения жесткости можно сослаться на то, что (см. предыдущий параграф) погрешность К счастью, для того чтобы распознать жесткую задачу на практике, гасто совсем не обязательно проводить математически строгое ее исследование. Если система уравнений (14.131) правильно моделирует реальное физическое явление, включающее процессы с существенно различными временными постоянными, то соответствующая задача Кяши должна быть жесткой. Как правило, исследователь проявляет интерес к изучению поведения медленно меняющихся характеристик процесса в течение длительного времени. Наличие же быстро меняющихся физических компонент при использовании классических явных методов решения задачи Коши заставляет его выбирать шаг Замечание 1. В последнее время задачу не принято квалифицировать как жесткую на переходном участке. Если исследователь проявляет интерес к изучению переходного режима, то для нахождения решения на переходном участке могут оказаться вполне приемлемыми и явные методы Рунге-Кутты и Адамса. Замечание 2. Обычно при определении жесткости делается явное или неявное предположение о том, что среди собственных чисел матрицы А отсутствуют такие, для которых 3. Понятие о методах решения жестких задач.Для решения жестких задач было бы желательно использовать Многие из возникающих на практике жестких задач таковы, что для них собственные значения матрицы Якоби удовлетворяют неравенству Для таких задач требование задачи Коши называют
Рис. 14.19
Рис. 14.20. Известно, что среди явных линейных многошаговых методов нет
Чисто неявные методы получаются в результате замены в системе дифференциальных уравнений (14.131) при Приведем формулы дифференцирования назад при
(это неявный метод Эйлера);
Напомним, что метод (14.133) является Весьма популярный и широко используемый при решении жестких задач алгоритм Гира основан на использовании формул дифференцирования назад порядка точности
|
1 |
Оглавление
|