§ 12.3. Обусловленность формул численного дифференцирования

Несмотря на внешнюю простоту формул численного дифференцирования, их применение требует особой осторожности. Отметим, что используемые при численном дифференцировании значения функции непременно содержат ошибки. Поэтому к погрешности аппроксимации формул численного дифференцирования добавляется неустранимая погрешность, вызванная погрешностями вычисления функции Для того чтобы погрешность аппроксимации была достаточно малой, требуется использование таблиц с малыми шагами А. Однако, к сожалению, при малых шагах формулы численного дифференцирования становятся плохо обусловленными и результат их применения может быть полностью искажен неустранимой ошибкой. Важно понимать, что действительная причина этого явления лежит не в несовершенстве предложенных методов вычисления производных, а в некорректности самой операции дифференцирования приближенно заданной функции (см. гл. 3, пример 3.5)

Поясним сказанное на примере использования формулы (12.1).

Полная погрешность реально вычисляемого значения правой разностной производной представляет собой сумму погрешности аппроксимации неустранимой погрешности

Пусть верхняя граница абсолютной погрешности используемых значений функции. Тогда погрешность оценивается следующим образом:

Оценка (12.22) означает, что чувствительность формулы (12.1) к погрешностям входных данных характеризуется абсолютным числом

обусловленности Так как при , то формула (12.1) при малых становится очень плохо обусловленной. Поэтому несмотря на то, что погрешность аппроксимации стремится к нулю при оценку (12.4)), следует ожидать, что полная погрешность будет неограниченно возрастать при Во всяком случае так ведет себя верхняя граница полной погрешности - (график функции для случая, рассмотренного в примере 12.4, приведен на рис. 12.2). Выберем оптимальное значение шага А, при котором величина достигает минимального значения. Приравнивая производную к нулю, получаем значение Аопт которому отвечает величина

Рис. 12.2

Таким образом, при использовании формулы (12.1) для вычисления производной функции заданной с погрешностью, следует обратить особое внимание на выбор шага Однако даже при оптимальном выборе шага полная погрешность окажется величиной, пропорциональной лишь Я

Формулы для вычисления производных порядка обладают еще большей чувствительностью к ошибкам задания функций. Поэтому значения производных высокого порядка, найденные с помощью таких формул, могут быть очень неточными.

Пример 12.4. Рассмотрим результаты применения формулы (12.1) с разными значениями шага для вычисления производной функции точке

В табл. 12.4 приведены значения приближений полученные на -разрядной десятичной ЭВМ и отвечающие значениям Для удобства анализа указаны также значения погрешностей

Таблица 12.4 (см. скан)

Из таблицы видно, что погрешность с уменьшением сначала убывает по модулю, а затем начинает резко возрастать. При значения функции в точках найденные с шестью знаками мантиссы, совпадают, и поэтому вычисление по формуле (12.1) дает приближение к равное нулю. Ясно, что при будет получаться тот же результат.

На рис. 12.2 точками помечены значения модуля погрешности отвечающие различным А из диапазона Сплошной линией изображен график функции являющейся верхней оценкой для (в данном случае Отметим, что хотя реальное значение погрешности и оказывается меньше получаемого с помощью оценки все же функция правильно отражает основные особенности поведения погрешности.