Глава 14. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывным образом меняются со временем Соответствующие явления, как правило, подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений. Одной из основных математических задач, которые приходится решать для таких уравнений, является задача Коши (или начальная задача). Чаще всего к ней приходят тогда, когда начальное состояние некоторой физической системы в момент времени считается известным, и требуется предсказать ее поведение при Понимание того, что задача Коши описывает развитие тех или иных процессов во времени, значительно упрощает восприятие как подходов к ее решению, так и критериев оценки качества получаемых приближений.

Подавляющее большинство возникающих на практике начальных задач невозможно решить без использования вычислительной техники. Поэтому в инженерных и научно-технических расчетах численные методы решения задачи Коши играют особую роль.

Моделирование самых разнообразных процессов приводит к необходимости решать системы дифференциальных уравнений (иногда довольно высокого порядка). Тем не менее большая часть этой главы (§ 14.1 — 14.9) посвящена рассмотрению методов решения задачи Коши для одного дифференциального уравнения первого порядка. Это традиционный подход, упрощающий как изложение методов, так и понимание их существа. Переход от случая одного уравнения к случаю систем дифференциальных уравнений не вызывает затем

серьезных затруднений (по крайней мере формального характера). Некоторые особенности решения задачи Коши для систем уравнений изложены в § 14.10 и 14.11. При этом значительное внимание уделяется проблеме устойчивости численных методов и так называемым жестким задачам.