§ 11.2. Интерполяция обобщенными многочленами

1. Постановка задачи интерполяции.

Пусть в точках расположенных на отрезке и попарно различных, задана таблица (11.1) значений некоторой функции Задача интерполяции состоит в построении функции удовлетворяющей условию

Другими словами, ставится задача о построении функции график которой проходит через заданные точки (рис. 11.1). Указанный способ приближения функций принято называть интерполяцией (или интерполированием), а точки узлами интерполяции.

Нетрудно видеть, что выбор функции неоднозначен, так как по заданной таблице можно построить бесконечно много интерполирующих

Рис. 11.1

функций. На практике, как правило, функцию выбирают из достаточно узкого класса функций, в котором единственность выбора гарантируется.

2. Экстраполяция.

Пусть и минимальный и максимальный из узлов интерполяции. В случае, когда интерполяция используется для вычисления приближенного значения функции точке х, не принадлежащей отрезку (отрезку наблюдения), принято говорить о том, что осуществляется экстраполяция. Этот метод приближения часто используют с целью прогнозирования характера протекания тех или иных процессов при значениях параметров выходящих за пределы отрезка наблюдения. Заметим, что надежность такого прогноза при значениях х, удаленных на значительное расстояние от отрезка как правило, невелика.

3. Задача интерполяции обобщенными многочленами.

Рассмотрим более подробно задачу интерполяции обобщенными многочленами вида (11.2). Назовем обобщенный многочлен интерполяционным, если он удовлетворяет условию

или, что то же самое, системе линейных алгебраических уравнений

относительно коэффициентов

Заметим, что систему уравнений (11.7) можно записать в следующем виде:

где

Введем векторы Будем говорить, что система функций линейно зависима в точках если один из векторов системы

может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы:

В противном случае систему функций будем называть линейно независимой в точках

Пример 11.1. Покажем, что при система функций линейно независима в точках если они попарно различны.

Допустим противное. Тогда справедливо равенство (11.10), которое в данном случае (при принимает вид

Полагая получаем, что многочлен степени обращается в ноль в точках число которых равно следовательно, больше Однако в силу основной теоремы алгебры многочлен степени тождественно не равный нулю, не может иметь более то корней. Полученное противоречие доказывает линейную независимость рассматриваемой системы функций

Рассмотрим матрицу Грама системы функций имеющую вид

Здесь в случае, когда функции могут принимать комплексные значения, под понимается сопряженная к матрица, а элементы матрицы Грама вычисляются по формуле

Если же функции принимают только вещественные значения, то и элементы матрицы Грама вычисляются по формуле

Определитель матрицы Грама принято называть определителем Грама.

Как следует из курса линейной алгебры, справедлив следующий результат.

Теорема 11.1. Система функций является линейно независимой в точках тогда и только тогда, когда и определитель Грама отличен от нуля.

Известно, что при система функций линейно зависима в точках Отсюда вытекает неединственность решения с системы (11.8) (если оно существует). Действительно, в этом случае справедливо представление (11.10) и вместе с вектором а решением системы (11.8) является вектор где любое число. Если же то решение системы (11.8) существует не для всякой правой части

В силу указанных причин при интерполяции обобщенными многочленами число параметров обычно берут равным числу заданных точек. В этом случае квадратная матрица и для того, чтобы система (11.8) была однозначно разрешима при любой правой части у, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был отличен от нуля. В свою очередь при это условие в силу равенства и теоремы 11.1 дает следующий результат.

Теорема 11.2. Если то решение задачи интерполяции обобщенным многочленом (11.2) существует и единственно при любом наборе данных тогда и только тогда, когда система функций линейно независима в точках

Назовем систему функций ортогональной на множестве точек если при к при для всех Очевидно, что для ортогональной на множестве системы функций матрица Грама диагональна, а определитель Грама отличен от нуля. Поэтому всякая ортогональная на множестве точек система функций заведомо является линейно независимой в этих точках.

Пример 11.2. Покажем, что система функций где ортогональна на множестве точек Здесь мнимая единица.

Для доказательства ортогональности рассматриваемой системы функций достаточно установить, что справедливо равенство

где при при Введем обозначение Тогда и согласно формуле (11.13) имеем

При правая часть равенства (11.16), очевидно, равна При к используя формулу суммы членов геометрической прогрессии и равенство имеем

Таким образом, равенство (11.15), а вместе с ним и ортогональность системы функций доказаны.

В случае, когда система функций ортогональна на множестве точек решение задачи интерполяции не представляет затруднений. Действительно, система уравнений (11.8) после умножения на матрицу преобразуется к виду

Заметим, что элементы вектора вычисляются по формуле

Так как матрица диагональна, то решение системы (11.17) находится в явном виде: