§ 13.4. Апостериорные оценки погрешности. Понятие об адаптивных процедурах численного интегрирования

Применение неравенств типа (13.13), (13.14), (13.15), (13.19) для априорной оценки погрешности квадратурных формул в большинстве случаев оказывается неэффективным или вообще невозможным. Это связано как с трудностями оценивания производных подынтегральной функции так и с тем, что получаемые оценки, как правило, бывают сильно завышенными. На практике обычно используются иные подходы к оценке погрешности, позволяющие строить процедуры численного интегрирования с автоматическим выбором шага.

1. Главный член погрешности.

Пусть — приближенное значение интеграла вычисленное по некоторой квадратурной формуле и использующее разбиение отрезка на элементарные отрезки длины А. Предположим, что для погрешности этой формулы справедливо представление

где величины, не зависящие от Тогда величина называется главным членом погрешности квадратурной формулы.

Заметим, что из неравенства (13.23) следует справедливость оценки с некоторой постоянной Поэтому число к представляет собой не что иное как порядок точности соответствующей квадратурной формулы.

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то для каждой из составных квадратурных формул

существует главный член погрешности. Приведем без доказательства соответствующий результат.

Теорема 13.4. Пусть и к — минимальное среди натуральных чисел, для которых величина

отлична от нуля. Если функция непрерывно дифференцируема к раз на отрезке то для погрешности квадратурной формулы (13.24) справедливо представление (13.23), в котором

Следствие 1. Если функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке то для погрешностей составных квадратурных формул прямоугольников и трапеций справедливы следующие представления:

Следствие 2. Если функция четырежды непрерывно дифференцируема на отрезке то для погрешности составной квадратурной формулы Симпсона справедливо представление

В силу предположения (13.23) для погрешности квадратурной формулы при достаточно малом справедливо приближенное равенство

Несмотря на элементарный характер формулы (13.28), она позволяет сделать ряд важных выводов. Первый из них состоит в том, что уменьшение шага в раз приводит к уменьшению погрешности квадратурной формулы примерно в раз. Действительно, при имеем

В частности, уменьшение шага в два раза приводит к уменьшению погрешности примерно в раз:

2. Правило Рунге практической оценки погрешности.

Как следует из теоремы 13.4, главный член погрешности квадратурной формулы интерполяционного типа имеет вид

Непосредственное использование этой формулы для оценки погрешности неудобно, так как требует вычисления производных функций . В более сложных ситуациях выражение для главного члена погрешности может оказаться существенно более громоздким. Поэтому в вычислительной практике часто применяются методы оценки погрешности, не использующие явное выражение для главного члена.

Вычитая из равенства (13.28) равенство (13.29), получим

Учитывая приближенное равенство (13.29), приходим к следующей приближенной формуле:

Использование этой формулы для апостериорной оценки погрешности значения принято называть правилом Рунге (или правилом двойною пересчета).

Замечание 1. Так как то из (13.30) следует формула которую можно было бы использовать для приближенной оценки погрешности значения А Как правило, этого не делают, поскольку среди двух вычисляемых значений интеграла второе является более точным и имеет смысл оценивать именно его погрешность.

Замечание 2. Заменой на формула (13.30) приводится к следующему виду:

Для формул прямоугольников и трапеций (см. (13.25) и (13.26)), а для формулы Симпсона (см. (13.27)). Поэтому для этих квадратурных формул равенство (13.31) принимает следующий вид:

Пример 13.5. Применяя правило Рунге, оценим погрешность приближенных значений полученных в примере 13.2 при вычислении интеграла использующих формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона с шагом

Вычислим приближенные значения интеграла по указанным квадратурным формулам с удвоенным значением шага. В результате получим

Применяя теперь формулы (13.32) — (13.34), находим

Естественно, что кроме правила Рунге существуют и другие способы апостериорной оценки погрешности. Например, можно использовать значения и вычисленные по формулам прямоугольников и трапеций с одним и тем же шагом, для практической оценки погрешности каждого из этих значений. Действительно, в равенствах (13.25), (13.26) Стр Поэтому

Отсюда следует, что

Пример 13.6. Применяя формулы (13.35), (13.36), оценим погрешности значений являющихся приближениями к значению интеграла (см. пример 13.2). о

Имеем Отметим, что полученные оценки совпадают с соответствующими оценками из примера 13.5.

Наличие некоторого правила получения апостериорной оценки погрешности позволяет строить процедуры вычисления интеграла I с заданной точностью достигаемой последовательным дроблением шага интегрирования. Простейшая процедура такого типа состоит в последовательном вычислении значений и соответствующих апостериорных оценок погрешности (например, по правилу Рунге) для где начальное значение шага, Вычисления прекращаются тогда, когда при некотором t оказывается (требуемая точность достигнута) либо тогда, когда величина начинает возрастать (точность не может быть достигнута из-за влияния вычислительной погрешности).

Пример 13.7. Найдем значение интеграла с точностью используя формулу трапеций и применяя процедуру последовательного дробления шага интегрирования, описанную выше.

Возьмем Значения (где были уже получены (см. пример 13.5). Так как то уменьшаем шаг вдвое: и вычисляем и Так как то снова дробим шаг: вычисляем и Поскольку требуемая точность достигнута и с учетом округления получаем

3. Экстраполяция Ричардсона.

Наличие приближенного равенства и формулы позволяют получить уточненное значение интеграла

Таким образом, квадратурная формула порождает новую квадратурную формулу (13.37), имеющую более высокий порядок точности. Если этот порядок известен, то процесс уточнения можно продолжить.

Предположим, например, что для погрешности квадратурной формулы справедливо представление

при всех причем . В этом случае формула (13.37) приводит к следующему методу уточнения, который называют также методом экстраполяции Ричардсона. Пусть шаг А измельчается по правилу Сначала полагают Для вычисления всех последующих приближений используют рекуррентное соотношение

Пример 13.8. Так как для формулы трапеций равенство (13.38) имеет место, причем то к ней можно применить экстраполяцию Ричардсона. В результате получается так называемый метод Ромберга. Существуют стандартные программы вычисления интегралов методом Ромберга. Правда, следует отметить, что эффективность этого метода не велика. Как правило, лучший результат дает применение квадратурных формул Гаусса или рассматриваемых ниже адаптивных процедур численного интегрирования.

Замечание. Первый же шаг метода Ромберга приводит к уточнению квадратурной формулы трапеций, совпадающему с формулой Симпсона. Действительно,

4. Адаптивные процедуры численного интегрирования.

До сих пор нам было удобнее рассматривать методы численного интегрирования с постоянным шагом. Однако они обладают значительно меньшей эффективностью и используются в вычислительной практике существенно реже, чем методы с переменным шагом. Объясняется это тем, что, равномерно распределяя узлы по отрезку интегрирования, мы полностью игнорируем особенности поведения подынтегральной функции. В то же время интуитивно ясно, что на участках плавного изменения функции достаточно поместить сравнительно небольшое число узлов, разместив значительно большее их число на участках резкого изменения функции. Распределение узлов интегрирования в соответствии с характером поведения подынтегральной функции часто позволяет при том же общем числе узлов получить значительно более высокую точность. Тем не менее выбор соответствующего неравномерного распределения узлов интегрирования является очень сложной задачей и вряд ли мог быть широко использован на практике, если бы для решения этой задачи не удалось привлечь ЭВМ.

Современные процедуры численного интегрирования (адаптивные квадратурные программы) используют некоторый алгоритм

автоматического распределения узлов интегрирования. Пользователь такой программы задает отрезок правило вычисления функции и требуемую точность Программа стремится, используя по возможности минимальное число узлов интегрирования, распределить их так, чтобы найденное значение удовлетворяло неравенству

Здесь — приближенное значение интеграла , вычисляемое по некоторой формуле.

Типичная программа разбивает исходный отрезок на элементарные отрезки так, чтобы для погрешностей выполнялось неравенство

При этом каждый из элементарных отрезков получается, как правило, делением пополам одного из отрезков, найденных на более раннем шаге алгоритма. Заметим, что неравенство (13.40) выполняется, если каждая из погрешностей удовлетворяет условию .

Действительяо, тогда

Рассмотрим, например, одну из простейших адаптивных процедур, основанную на формуле трапеций

и использующую для контроля точности составную формулу трапеций с шагом

Заметим, что если значение t уже найдено, то для нахождения значения требуется лишь одно дополнительное вычисление функции точке

Можно показать, что для оценки погрешностей квадратурных формул интерполяционного типа на элементарных отрезках правило Рунге сохраняет силу. Поэтому погрешность приближенного значения можно оценить по формуле

В рассматриваемой адаптивной процедуре последовательно выбирают точки и вычисляют значения

последнее из которых совпадает с и принимается за приближенное значение интеграла Перед началом работы полагают и задают некоторое начальное значение шага ).

Опишем 1-й шаг процедуры в предположении, что значение уже найдено и очередное значение шага определено.

1°. По формулам (13.41) — (13.43) вычисляют значения

2°. Если , то шаг А, уменьшают в 2 раза и повторяются вычисления

3°. После того как очередное дробление шага приводит к выполнению условия , вычисляют значения

4°. Если то полагают . В противном случае полагают На этом шаг завершается.

Замечание 1. В некоторых адаптивных процедурах при выполнении условия типа очередное значение шага удваивается: Таким образом, шаг интегрирования в зависимости от характера поведения подынтегральной функции может не только измельчаться, но и укрупняться. Замечание 2. Известно [9], что при оптимальном распределении узлов интегрирования модули погрешностей, приходящихся на элементарные отрезки интегрирования, должны быть примерно одинаковыми. Распределение узлов, полученное с помощью адаптивных процедур, как правило, не является таковым. Однако для большинства функций оно является вполне удовлетворительным.