§ 8.5. Дополнительные замечания

1. В данной книге не рассмотрены некоторые весьма популярные методы решения проблемы собственных значений. Изложение метода бисекции, метода вращений Якоби, QL-алгоритма (являющегося вариантом QR-алгоритма), LR-алгоритма и других методов можно найти, например в [19], [20], [62], [83], [84].

Авторы советуют обратить внимание на книгу [41], содержащую изложение современных численных методой решения проблемы собственных значений, вполне доступное для студента или выпускника технического вуза.

2. Если А — заполненная матрица общего вида умеренного порядка, то лучшим выбором для вычисления всех собственных значений служит один из вариантов QR-алгоритма со сдвигами. Необходимо только предварительно преобразовать матрицу к форме Хессенберга.

3. В случае, когда А — симметричная матрица умеренного порядка, ее обычно приводят сначала с помощью последовательных преобразований Хаусхолдера к трехдиагональному виду. Для вычисления собственных значений полученной трехдиагональной матрицы можно использовать -алгоритм, но по-видимому, чаще более предпочтительным является метод бисекций. Одно из достоинств этого алгоритма состоит в том, что он позволяет находить не все собственные значения, а одно или группу нужных собственных значений.

4. Если приближенное значение собственного числа найдено, то подходящим методом вычисления соответствующего собственного вектора является метод обратных итераций.

5. Методы, которые используются в настоящее время для решения проблемы собственных значений в случае, когда А — разреженная матрица большой размерности, можно разделить на две основные группы: методы одновременных итераций (или итерирования подпространства) и методы типа Ланцоша. Их обсуждение можно найти, например, в [41]. Один из простейших возможных цодходов — степенной метод — был рассмотрен в § 8.2.