§ 3.4. Корректность вычислительных алгоритмов

1. Вычислительный алгоритм.

Вычислительный метод, доведенный до степени детализации, позволяющий реализовать его на ЭВМ, принимает форму вычислительного алгоритма.

Определим вычислительный алгоритм как точное предписание действий над входными данными, задающее вычислительный процесс, направленный на преобразование произвольных входных данных х (из множества допустимых для данного алгоритма входных данных X) в полностью определяемый этими входными данными результат.

Реальный вычислительный алгоритм складывается из двух частей: абстрактного вычислительного алгоритма, формулируемого в общепринятых математических терминах, и программы, записанной на одном из алгоритмических языков и предназначенной для реализации алгоритма на ЭВМ. Как правило, в руководствах по методам вычислений излагаются именно абстрактные алгоритмы, но их обсуждение проводится так, чтобы выявить особенности алгоритмов, которые оказывают существенное влияние на качество программной реализации.

2. Определение корректности алгоритма.

К вычислительным алгоритмам, предназначенным для широкого использования, предъявляется ряд весьма жестких требований. Первое из них — корректность алгоритма. Будем называть вычислительный алгоритм корректным, если выполнены три условия: 1) он позволяет после выполнения конечного числа элементарных для вычислительной машины операций преобразовать любое входное данное в результат у, 2) результат у устойчив по отношению к малым возмущениям входных данных; 3) результат у обладает вычислительной устойчивостью. Если хотя бы одно из перечисленных условий не выполнено, то будем называть алгоритм некорректным. Уточним и более подробно обсудим эти условия.

Необходимость выполнения первого условия понятна. Если для получения результата нужно выполнить бесконечное число операций либо требуются операции, не реализованные на ЭВМ, то алгоритм следует признать некорректным.

Пример 3.22. Известный алгоритм деления чисел "углом" некорректен, так как он может продолжаться бесконечно, если не определен критерий окончания вычислений.

Пример 3.23. Отсутствие критерия окончания делает некорректным и алгоритм Ньютона вычисления (см. пример 3.20).

Пример 3.24. Алгоритм вычисления корней квадратного уравнения (3.1) по формулам (3.2) некорректен, если он предназначен для использования на вычислительной машине, на которой не реализована операция извлечения квадратного корня.

3. Устойчивость по входным данным.

Устойчивость результата у к малым возмущениям входных данных (устойчивость по входным данным) означает, что результат непрерывным образом зависит от входных данных при условии, что отсутствует вычислительная погрешность. Это требование устойчивости аналогично требованию устойчивости вычислительной задачи. Отсутствие такой устойчивости делает алгоритм непригодным для использования на практике.

Отметим, что в формулировку устойчивости алгоритма по входным данным неявно входит одно весьма важное предположение, а именно, что вместе с входным данным х в множество допустимых входных данных X входят и все близкие к х приближенные входные данные х.

Пример 3.25. Пусть алгоритм предназначен для вычисления корней квадратного уравнения (3.1) с коэффициентом, удовлетворяющими условию Если в нем используются формулы (3.2), то этот алгоритм некорректен. В самом деле, значение отвечающее приближенно заданным коэффициентам может оказаться отрицательным, если . Тогда вычисления завершатся аварийным остановом при попытке извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Если же в формуле (3.2) заменить на то алгоритм становится корректным.

4. Вычислительная устойчивость.

Из-за наличия ошибок округления при вводе входных данных в ЭВМ и при выполнении арифметических операций неизбежно появление вычислительной погрешности. Ее величина на разных ЭВМ различна из-за различий в разрядности и способах округления, но для фиксированного алгоритма в основном величина погрешности определяется машинной точностью ем.

Назовем алгоритм вычислительно устойчивым, если вычислительная погрешность результата стремится к нулю при Обычно вычислительный алгоритм называют устойчивым, если он устойчив по входным данным и вычислительно устойчив, и неустойчивым, если хотя бы одно из этих условий не выполнено.

Пример 3.261. Пусть требуется составить таблицу значений интегралов для на -разрядной десятичной ЭВМ.

Интегрируя по частям, имеем

Следовательно, справедлива формула

Кроме того,

Воспользуемся формулой (3.17) для последовательного вычисления приближенных значений интегралов

Здесь вычисления следует прекратить. Искомые значения интегралов очевидно, положительны, а найденные значения при отрицательны. В чем причина появления такой большой ошибки?

В данном примере все вычисления проводились точно, а единственная и, на первый взгляд, незначительная ошибка была сделана при округлении значения до 6 значащих цифр (заметим, что

Однако при вычислении эта ошибка сохранилась, при вычислении умножилась на при вычислении на при вычислении на

Таким образом, Уже при имеем и поэтому .

Если вычисления производятся без ограничений на число , то рассматриваемый алгоритм следует признать вычислительно неустойчивым. Ошибки растут пропорционально настолько быстро, что уже при довольно скромных значениях попытки добиться приемлемого результата даже за счет увеличения разрядности мантиссы заранее обречены на неудачу.

Как изменить алгоритм, чтобы сделать его устойчивым? Перепишем формулу (3.17) в виде

и будем вести вычисления значений в обратном порядке, начиная, например, с Положим Так как то

Однако при вычислении эта ошибка уменьшится в 54 раза, при вычислении еще в 53 раза и т.д.

В результате значения при будут вычислены с шестью верными значащими цифрами. Здесь погрешности не растут, а затухают. Ясно, что модифицированный алгоритм вычислительно устойчив.

Вычислительная неустойчивость алгоритма часто может быть выявлена благодаря анализу устойчивости по входным данным, так как неустойчивость к малым ошибкам округления входных данных автоматически свидетельствует о вычислительной неустойчивости алгоритма.

Пример 3.27. Предположим, что величины для вычисляются по рекуррентной формуле

а величина задана. Пусть заданное приближенное значение величины Тогда (если вычисления ведутся абсолютно точно) определяемые по формуле (3.19) приближенные значения содержат ошибки, связанные равенством Следовательно, и при выполнении условия алгоритм устойчив по входным данным, поскольку для всех Если же то и абсолютная погрешность неограниченно возрастает при В этом случае алгоритм неустойчив по входным данным, а потому и вычислительно неустойчив.

Справедливости ради следует заметить, что алгоритм (3.19) был признан нами неустойчивым в случае при выполнении двух условий, на которых не было достаточно акцентировано внимание. Первое из них состоит в предположении о неограниченной продолжительности вычислительного процесса что невозможно на практике. В действительности такой характер неустойчивости говорит о тенденции к неограниченному росту погрешности при неограниченном продолжении вычислений. Правда, если ошибки растут очень быстро, то вычисления могут довольно скоро завершиться аварийным остановом по переполнению. Второе условие касается выбранной меры погрешности. Совсем не обязательно, чтобы рост абсолютной погрешности всегда был неприемлем в конкретных вычислениях. Если он сопровождается сильным ростом точного решения и при этом относительная погрешность остается малой, то алгоритм можно признать относительно устойчивым. По-видимому, при анализе вычислительной устойчивости более естественным является рассмотрение относительных погрешностей.

Пример 3.28. Пусть в формуле (3.19) все Тогда Следовательно, и при любых значениях алгоритм относительно устойчив по входным данным.