Главная > Вычислительные методы для инженеров
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3.4. Корректность вычислительных алгоритмов

1. Вычислительный алгоритм.

Вычислительный метод, доведенный до степени детализации, позволяющий реализовать его на ЭВМ, принимает форму вычислительного алгоритма.

Определим вычислительный алгоритм как точное предписание действий над входными данными, задающее вычислительный процесс, направленный на преобразование произвольных входных данных х (из множества допустимых для данного алгоритма входных данных X) в полностью определяемый этими входными данными результат.

Реальный вычислительный алгоритм складывается из двух частей: абстрактного вычислительного алгоритма, формулируемого в общепринятых математических терминах, и программы, записанной на одном из алгоритмических языков и предназначенной для реализации алгоритма на ЭВМ. Как правило, в руководствах по методам вычислений излагаются именно абстрактные алгоритмы, но их обсуждение проводится так, чтобы выявить особенности алгоритмов, которые оказывают существенное влияние на качество программной реализации.

2. Определение корректности алгоритма.

К вычислительным алгоритмам, предназначенным для широкого использования, предъявляется ряд весьма жестких требований. Первое из них — корректность алгоритма. Будем называть вычислительный алгоритм корректным, если выполнены три условия: 1) он позволяет после выполнения конечного числа элементарных для вычислительной машины операций преобразовать любое входное данное в результат у, 2) результат у устойчив по отношению к малым возмущениям входных данных; 3) результат у обладает вычислительной устойчивостью. Если хотя бы одно из перечисленных условий не выполнено, то будем называть алгоритм некорректным. Уточним и более подробно обсудим эти условия.

Необходимость выполнения первого условия понятна. Если для получения результата нужно выполнить бесконечное число операций либо требуются операции, не реализованные на ЭВМ, то алгоритм следует признать некорректным.

Пример 3.22. Известный алгоритм деления чисел "углом" некорректен, так как он может продолжаться бесконечно, если не определен критерий окончания вычислений.

Пример 3.23. Отсутствие критерия окончания делает некорректным и алгоритм Ньютона вычисления (см. пример 3.20).

Пример 3.24. Алгоритм вычисления корней квадратного уравнения (3.1) по формулам (3.2) некорректен, если он предназначен для использования на вычислительной машине, на которой не реализована операция извлечения квадратного корня.

3. Устойчивость по входным данным.

Устойчивость результата у к малым возмущениям входных данных (устойчивость по входным данным) означает, что результат непрерывным образом зависит от входных данных при условии, что отсутствует вычислительная погрешность. Это требование устойчивости аналогично требованию устойчивости вычислительной задачи. Отсутствие такой устойчивости делает алгоритм непригодным для использования на практике.

Отметим, что в формулировку устойчивости алгоритма по входным данным неявно входит одно весьма важное предположение, а именно, что вместе с входным данным х в множество допустимых входных данных X входят и все близкие к х приближенные входные данные х.

Пример 3.25. Пусть алгоритм предназначен для вычисления корней квадратного уравнения (3.1) с коэффициентом, удовлетворяющими условию Если в нем используются формулы (3.2), то этот алгоритм некорректен. В самом деле, значение отвечающее приближенно заданным коэффициентам может оказаться отрицательным, если . Тогда вычисления завершатся аварийным остановом при попытке извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Если же в формуле (3.2) заменить на то алгоритм становится корректным.

4. Вычислительная устойчивость.

Из-за наличия ошибок округления при вводе входных данных в ЭВМ и при выполнении арифметических операций неизбежно появление вычислительной погрешности. Ее величина на разных ЭВМ различна из-за различий в разрядности и способах округления, но для фиксированного алгоритма в основном величина погрешности определяется машинной точностью ем.

Назовем алгоритм вычислительно устойчивым, если вычислительная погрешность результата стремится к нулю при Обычно вычислительный алгоритм называют устойчивым, если он устойчив по входным данным и вычислительно устойчив, и неустойчивым, если хотя бы одно из этих условий не выполнено.

Пример 3.261. Пусть требуется составить таблицу значений интегралов для на -разрядной десятичной ЭВМ.

Интегрируя по частям, имеем

Следовательно, справедлива формула

Кроме того,

Воспользуемся формулой (3.17) для последовательного вычисления приближенных значений интегралов

Здесь вычисления следует прекратить. Искомые значения интегралов очевидно, положительны, а найденные значения при отрицательны. В чем причина появления такой большой ошибки?

В данном примере все вычисления проводились точно, а единственная и, на первый взгляд, незначительная ошибка была сделана при округлении значения до 6 значащих цифр (заметим, что

Однако при вычислении эта ошибка сохранилась, при вычислении умножилась на при вычислении на при вычислении на

Таким образом, Уже при имеем и поэтому .

Если вычисления производятся без ограничений на число , то рассматриваемый алгоритм следует признать вычислительно неустойчивым. Ошибки растут пропорционально настолько быстро, что уже при довольно скромных значениях попытки добиться приемлемого результата даже за счет увеличения разрядности мантиссы заранее обречены на неудачу.

Как изменить алгоритм, чтобы сделать его устойчивым? Перепишем формулу (3.17) в виде

и будем вести вычисления значений в обратном порядке, начиная, например, с Положим Так как то

Однако при вычислении эта ошибка уменьшится в 54 раза, при вычислении еще в 53 раза и т.д.

В результате значения при будут вычислены с шестью верными значащими цифрами. Здесь погрешности не растут, а затухают. Ясно, что модифицированный алгоритм вычислительно устойчив.

Вычислительная неустойчивость алгоритма часто может быть выявлена благодаря анализу устойчивости по входным данным, так как неустойчивость к малым ошибкам округления входных данных автоматически свидетельствует о вычислительной неустойчивости алгоритма.

Пример 3.27. Предположим, что величины для вычисляются по рекуррентной формуле

а величина задана. Пусть заданное приближенное значение величины Тогда (если вычисления ведутся абсолютно точно) определяемые по формуле (3.19) приближенные значения содержат ошибки, связанные равенством Следовательно, и при выполнении условия алгоритм устойчив по входным данным, поскольку для всех Если же то и абсолютная погрешность неограниченно возрастает при В этом случае алгоритм неустойчив по входным данным, а потому и вычислительно неустойчив.

Справедливости ради следует заметить, что алгоритм (3.19) был признан нами неустойчивым в случае при выполнении двух условий, на которых не было достаточно акцентировано внимание. Первое из них состоит в предположении о неограниченной продолжительности вычислительного процесса что невозможно на практике. В действительности такой характер неустойчивости говорит о тенденции к неограниченному росту погрешности при неограниченном продолжении вычислений. Правда, если ошибки растут очень быстро, то вычисления могут довольно скоро завершиться аварийным остановом по переполнению. Второе условие касается выбранной меры погрешности. Совсем не обязательно, чтобы рост абсолютной погрешности всегда был неприемлем в конкретных вычислениях. Если он сопровождается сильным ростом точного решения и при этом относительная погрешность остается малой, то алгоритм можно признать относительно устойчивым. По-видимому, при анализе вычислительной устойчивости более естественным является рассмотрение относительных погрешностей.

Пример 3.28. Пусть в формуле (3.19) все Тогда Следовательно, и при любых значениях алгоритм относительно устойчив по входным данным.

1
Оглавление
email@scask.ru