§ 2.4. Погрешность функции

1. Погрешность функции многих переменных.

Пусть — дифференцируемая в области функция переменных, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях аргументов Такая ситуация возникает, например, всякий раз, когда на ЭВМ производится расчет по формуле. Важно знать, какова величина неустранимой ошибки, вызванной тем, что вместо значения в действительности вычисляется значение где

Введем обозначения: пусть отрезок, соединяющий точки

Предложение 2.5. Для абсолютной погрешности значения справедлива следующая оценка:

Оценка (2.15) вытекает из формулы конечных приращений Лагранжа:

Следствие. Если то в силу оценки (2.15) можно положить

Равенство (2.16) удобно для практических оценок, а равенством (2.17) мы воспользуемся в дальнейшем для теоретических построений.

Из формул (2.16), (2.17) вытекают приближенные равенства для оценки границ относительных шпостой:

Здесь

Пример 2.12. Пусть корни квадратного уравнения вычисляются при значениях коэффициентов Каково влияние погрешностей задания коэффициентов на точность вычисляемых значений?

Воспользуемся явными формулами для корней: где Заметим, что .

Тогда при заданных значениях коэффициентов получим Далее, имеем Применяя первую из формул (2.19), для корня находим Аналогично для корпя имеем Таким образом,

Следовательно, точность первого корня практически определяется только точностью задания коэффициента 6, в то время как коэффициент с может быть задан очень грубо. Для второго корня влияние погрешностей в задании коэффициентов бис практически одинаково.

2. Погрешность функции одной переменной.

Формулы для границ погрешностей функции одной переменной являются частным случаем формул (2.16) — (2.18) при

где

3. Погрешность неявной функции.

Нередко приходится сталкиваться с ситуацией, когда функция задается не явной формулой, а как решение нелинейного уравнения т.е. неявно. Если для такой неявной функции воспользоваться известными формулами вычисления производных

то исследование неустранимой погрешности неявной функции сразу же сводится к рассмотренному выше случаю.

Пример 2.13. Для проведенного в примере 2.12 исследования совсем не обязательно было выписывать явные формулы для корней. В этом случае величины и можно рассматривать как неявные функции, заданные уравнением где

Здесь Следовательно,

Вычисления при дают те же значения коэффициентов что и в примере 2.12, а, следовательно, те же формулы (2.20).