Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6.1. Метод простой итерации1. Приведение системы к виду, удобному для итераций.Для того чтобы применить метод простой итерации к решению системы линейных алгебраических уравнений
с квадратной невырожденной матрицей А, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду
Здесь В — квадратная матрица с элементами В развернутой форме записи система (6.2) имеет следующий вид:
Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций (т.е. к виду (6.2)), не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы. В некоторых случаях в таком преобразовании нет необходимости, так как сама исходная система уже имеет вид (6.2). Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения системы (6.1) выразим неизвестное
из второго уравнения — неизвестное
и т. д. В результате получим систему
в которой на главной диагонали матрицы В находятся нулевые элементы. Остальные элементы выражаются по формулам
Конечно, для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы А были ненулевыми. Часто систему (6.1) преобразуют к виду 2. Описание метода.Выберем начальное приближение
Подставляя приближение
Продолжая этот процесс далее, получим последовательность
В развернутой форме записи формула (6.6) выглядит так:
В случае, когда для итераций используется система (6.4) с коэффициентами, вычисленными по формулам (6.5), метод простой итерации принято называть методом Якоби. 3. Сходимость метода простой итерации.Теорема 6.1. Пусть выполнено условие
Тогда: 1°) решение х системы (6.2) существует и единственно, 2°) при произвольном начальном приближении
1°. Из курса линейной алгебры известно, что система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение при любой правой части тогда и только тогда, когда соответствующая однородная система имеет только нулевое решение. Пусть 2°. Вычитая из равенства (6.6) равенство
Вычисляя норму левой и правой частей этого равенства и используя неравенство
Справедливость неравенства (6.9) установлена. Учитывая, что Замечание 1. Теорема 6.1 дает простое достаточное условие (6.8) сходимости метода простой итерации. Грубо это условие можно интерпретировать как условие достаточной малости элементов Замечание 2. Если
Для метода Якоби это условие в силу равенств
Таким образом, для сходимости метода Якоби достаточно, чтобы матрица А была близка к диагональной. Замечание 3. Из оценки (6.9) следует, что при выполнении условия (6.8) метод простой итерации сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой Замечание 4. Оценка погрешности (6.9) является априорной. Ее использование для формулировки критерия окончания итераций затруднительно, так как значение 4. Апостериорная оценка погрешностиПредложение 6.1. Если выполнено условие (6.8), то справедлива апостериорная оценка погрешности
Запишем равенство (6.10) при
Тогда
Для завершения доказательства достаточно заметить, что полученное неравенство эквивалентно неравенству (6.12). Замечание. Величину, стоящую в правой части неравенства (6.12), можно легко вычислить после нахождения очередного приближения Если требуется найти решение с точностью
Таким образом, в качестве критерия окончания итерационного процесса может быть использовано неравенство
где В практике вычислений иногда используют привлекательный своей простотой критерий окончания
Отметим, что для метода простой итерации его применение обосновано только тогда, когда Пример 6.1. Используя метод простой итерации в форме Якоби, найдем решение системы
с точностью Вычисляя коэффициенты по формулам (6.5), приведем систему к виду (6.4)
В последнем уравнении коэффициенты даны с точностью до погрешности округления. Здесь
Достаточное условие сходимости метода простой итерации выполнено, так как Примем за начальное приближение к решению вектор Таблица 6.1 (см. скан) При 5. Система с положительно определенной матрицей.В случае, когда А — симметричная положительно определенная матрица, систему
которому отвечает метод простой итерации:
Здесь Пусть Чаще известны не значения Заметим, что в случае, когда 6. Влияние ошибок округления.Из-за наличия ошибок округления реально вычисляемые на ЭВМ приближения В действительности же существует некоторая Теорема 6.2. Пусть
где
Здесь Таким образом, метод простых итераций устойчив, но гарантированная точность метода ограничена величиной
|
1 |
Оглавление
|