§ 11.7. Конечные разности

1. Таблица конечных разностей.

Пусть функция задана таблицей (111) своих значений, причем и расстояние между соседними узлами таблицы значений аргумента постоянно. 8 этом случае величину называют шагом таблицы, а узлы — равноотстоящими.

Величину принято называть конечной разностью первою порядка функции в точке (с шагом А). Конечная разность второю порядка определяется формулой Аналогично определяются конечные разности третьего и более высоких порядков. Общее определение конечной разности порядка к таково:

Здесь

Таблицу конечных разностей (которые называют еще конечными разностями вперед) обычно располагают следующим образом:

Таблица 11.2 (см. скан)

2. Свойства конечных разностей.

Можно показать, что конечные разности порядка к выражаются через значения функции в к точке по формуле

где — биномиальные коэффициенты. В частности,

Приведем без доказательства важное утверждение, указывающее на тесную связь между производными гладких функций и их конечными разностями.

Теорема 11.6. Пусть функция дифференцируема к раз на отрезке Тогда справедливо равенство

в котором некоторая точка из интервала

Замечание. При формула (11.45) совпадает с формулой конечных приращений Лагранжа.

Следствие. Для многочлена конечная разность порядка является постоянной величиной, равной Разности порядка тождественно равны нулю.

Конечные разности имеют разнообразные практические применения. Например, если производная порядка слабо меняется на отрезке то в силу равенства (11.45) для справедлива следующая формула численного дифференцирования:

В § 11.9 конечные разности будут использованы для построения интерполяционного многочлена Ньютона. Рассмотрим еще два приложения конечных разностей, связанных с анализом погрешностей таблиц, а именно задачу об оценке уровня "шума" таблицы и задачу обнаружения единичных ошибок.

Заметим, что в реальных вычислениях таблица конечных разностей строится по значениям у, каждое из которых содержит погрешность . Тогда в силу формулы (11.44) найденные значения содержат неустранимые ошибки

Как нетрудно видеть, имеется тенденция к росту погрешностей с ростом k. Если известно, что для всех то можно гарантировать справедливость лишь следующей оценки:

3. Оценка уровня "шума" в таблице.

На практике часто возникает следующая задача. Для набора равноотстоящих узлов каким-либо образом построена таблица приближенных значений гладкой функции Требуется оценить уровень погрешности (уровень "шума") таблицы.

Полученная выше гарантированная оценка погрешности (11.48) не дает удовлетворительного ответа на поставленный вопрос. Она лишь

указывает на то, что в самом неблагоприятном случае рост ошибки произойдет с коэффициентом, равным Проведем статистический анализ погрешности. Будем предполагать, что ошибки являются независимыми случайными величинами с математическим ожиданием эквивалентно отсутствию систематической составляющей погрешности) и дисперсией

В силу формулы и тогда для дисперсии погрешности разности имеем:

Заметим, что при так как величины независимы. Следовательно,

Принимая за уровень "шума" таблицы величину а квадратного корня из дисперсии (среднеквадратичную ошибку), получим равенство

которое дает более оптимистичное по сравнению с оценкой (11.47) значение коэффициента роста ошибки, так как

Если конечные разности строятся для гладкой функции, то они часто имеют тенденцию с ростом к уменьшаться по абсолютной величине, а затем, начиная с некоторого возрастать, испытывая сильные колебания в пределах одного столбца. При этом для основной вклад в значение вносит величина Это обстоятельство позволяет считать, что в оценке дисперсии величины можно приближенно заменить на Вычислив и затем достаточно воспользоваться формулой (11.49) для оценки уровня "шума" таблицы.

Пример 11.5. Оценим уровень "шума" в таблице значений функции заданной с шагом (первый и второй столбцы табл. 11.3).

тавив таблицу конечных разностей, замечаем, что, начиная с абсолютные значения разностей начинают возрастать. Оценим следующим образом:

Учитывая, что имеем Таким образом, погрешность таблицы составляет примерно две единицы 5-го разряда, а 6-й и 7-й разряды уже не содержат полезной информации. Если бы таблицу предполагалось использовать на практике, то, по-видимому, имело бы смысл округлить значения до 5 значащих цифр после десятичной толки.

Таблица 11.3 (см. скан)

4. Обнаружение единичных ошибок.

Анализ таблиц конечных разностей позволяет в некоторых случаях обнаруживать грубые единичные ошибки в таблицах гладких функций и даже частично их устранять. Прежде чем продемонстрировать сказанное на примере, рассмотрим, как распространяется в таблице конечных разностей ошибка допущенная только в одном значении Пользуясь формулой (11.47) или равенством при при получим следующую таблицу распространения единичной ошибки, т. е. ошибки, допущенной в одной точке.

Таблица 11.4 (см. скан)

Пример 11.6. Пусть на отрезке [1.5, 2.8] задана таблица значений функции (первый и второй столбцы табл. 11.5). Составим для нее таблицу конечных разностей. Аномальное поведение разностей третьего и четвертого порядка указывает на наличие в таблице значений функции ошибки. Сравнение с табл. 11.4 распространения единичной ошибки приводит к заключению о том, что погрешность допущена в значении у, отвечающем Тогда погрешностям табл. 11.4 приближенно отвечают значения

табл. 11.5. Это соответствие имеет место при Следовательно, табличное значение 0.788757 нужно заменить на 0.788459.

Таблица 11.5 (см. скан)

Замечание. Часто вместо конечных разностей вперед используют разности назад, определяемые рекуррентной формулой

Здесь Заметим, что разности вперед и назад связаны равенством