§ 14.9. Неявный метод Эйлера

Как следует из результатов предыдущего параграфа, простейшим представителем семейства устойчивых методов является неявный метод Эйлера

Как нетрудно понять, геометрическая интерпретация одного шага метода (14.98) заключается в том, что решение на отрезке аппроксимируется касательной проведенной в точке к интегральной кривой, проходящей через эту точку (рис. 14.15).

Достоинства неявного метода Эйлера проявляются при решении

дифференциальных уравнений, имеющих устойчивые по Ляпунову решения. Как уже отмечалось в § 14.2, достаточным условием такой устойчивости является выполнение одностороннего условия Липшица

Пусть решение дискретной задачи Коши для уравнения (14.98) соответствующее начальному условию решение возмущенной задачи

Рис. 14.15

Аналогично теореме 14.5 можно доказать следующий результат.

Теорема 14.12. Пусть функция удовлетворяет условию

Тогда справедливо неравенство

означающее, что неявный метод Эйлера устойчив на конечном отрезке.

Заметим, что неравенство (14.100) является дискретным аналогом оценки (14.16), справедливой для погрешности решения задачи Коши (при этом Следует отметить, что оно верно для метода (14.98) при любых А, в то время как для явного метода Эйлера это неравенство имеет место только если

Для неявного метода Эйлера справедлив и дискретный аналог оценки (14.17).

Теорема 14.13. Пусть функция удовлетворяет условию Тогда справедливо неравенство

где

Из того, что неявный метод Эйлера устойчив и имеет первый порядок аппроксимации, вытекает (в силу теоремы 14.4) его сходимость с первым порядком. Приведем соответствующий результат.

Теорема 14.14. Пусть функция удовлетворяет условию Тогда для неявного метода Эйлера справедлива следующая оценка погрешности:

Если же функция удовлетворяет условию то верна оценка

где

Последняя оценка замечательна тем, что ее правая часть не растет с ростом если вторая производная решения ограничена.