§ 11.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа

1. Интерполяционный многочлен.

Начнем с рассмотрения задачи интерполяции в наиболее простом и полно исследованном случае интерполирования алгебраическими многочленами. Для заданной таблицы (11-1) многочлен степени называется интерполяционным многочленом, если он удовлетворяет условиям

Равенство (11.20) можно записать аналогично (11.7) в виде системы уравнений

относительно коэффициентов многочлена. Эта система однозначно разрешима, так как система функций линейно независима в точках (см. пример 11.1 и теорему 11.2). Однозначная разрешимость системы (11.21) следует и из того хорошо известного факта, что определитель этой системы (определитель Вандермонда)

отличен от нуля, если узлы интерполяции попарно различны. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема 11.3. Существует единственный интерполяционный многочлен степени удовлетворяющий условиям (11.20).

Замечание. На практике система (11.21) никогда не используется для вычисления коэффициентов интерполяционного

многочлена. Дело в том, что часто она является плохо обусловленной. Кроме того, существуют различные удобные явные формы записи интерполяционного многочлена, которые и применяются при интерполяции. Наконец, в большинстве приложений интерполяционного многочлена явное вычисление коэффициентов не нужно.

2. Многочлен Лагранжа.

Приведем одну из форм записи интерполяционного многочлена — многочлен Лагранжа

Здесь

Как нетрудно видеть, представляет собой многочлен степени удовлетворяющий условию

Таким образом, степень многочлена равна и при в сумме (11.22) обращаются в ноль все слагаемые, кроме слагаемого с номером равного Поэтому многочлен Лагранжа (11.22) действительно является интерполяционным.

Замечание 1. Запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа (11.22) можно рассматривать как его запись в виде обобщенного многочлена (11.2) по системе фуцкций

Замечание 2. Как правило, интерполяционный многочлен Лагранжа используется так, что нет необходимости его преобразования к каноническому виду Более того, часто такое преобразование нежелательно.

В инженерной практике наиболее часто используется интерполяция многочленами первой, второй и третьей степени (линейная, квадратичная и кубическая интерполяции). Приведем соответствующие формулы для записи многочленов Лагранжа первой и второй степени:

Пример 11.3. Пусть задана таблица значений функции

Таблица 11.1 (см. скан)

Для приближенного вычисления значения воспользуемся линейной и квадратичной интерполяцией.

Возьмем Вычисление по формуле (11.23) дает значение

Для применения квадратичной интерполяции возьмем три ближайших к точке узла. Вычисляя по формуле (11.24), имеем

Заметим, что пока нам не известна погрешность полученных приближенных значений.