§ 11.5. Интерполяция с кратными узлами

1. Интерполяционный многочлен с кратными узлами.

Иногда в узлах бывают заданы не только значения функции но и значения ее производных до некоторого порядка этом случае узел называют кратным, а число равное количеству заданных значений, — кратностью узла. Пусть Можно доказать, что существует единственный многочлен степени удовлетворяющий условиям

для всех Этот многочлен называют интерполяционным многочленом с кратными узлами. Можно указать и явную формулу его записи, аналогичную форме Лагранжа (11.22). Мы этого делать не будем и отметим лишь два важных частных случая.

1°. Пусть на концах отрезка заданы значения Тогда интерполяционный многочлен удовлетворяющий условиям может быть представлен (что проверяется непосредственно) в следующем виде:

где Многочлен (11.31) принято называть кубическим интерполяционным многочленом Эрмита

2°. Пусть в точке заданы значения Тогда многочлен удовлетворяющий условиям представляется в виде

Как нетрудно видеть, многочлен представляет собой отрезок ряда Тейлора. Таким образом, формула Тейлора дает решение задачи интерполяции с одним узлом кратности

2. Погрешность интерполяции с кратными узлами.

Теорема 11.5. Пусть функция дифференцируема раз на отрезке содержащем узлы интерполяции Тогда для погрешности интерполяции с кратными узлами в точке справедливы равенство (11.25) и неравенства (11.26), (11.27), в которых некоторая точка, принадлежащая интервалу

Для формулы Тейлора теорема 11.5 дает известную формулу остаточного члена в форме Лагранжа. Для кубического

многочлена Эрмита неравенство (11.27) приводит к следующей оценке погрешности:

Здесь учтено то, что максимум функции на отрезке достигается в точке и равен