Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 7. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙВ этой главе рассматривается задача отыскания решений систем нелинейных уравнений, существенно более сложная, нежели задачи отыскания решения одного нелинейного уравнения или системы линейных алгебраических уравнений. Тем не менее достаточно подробное знакомство с содержанием глав 4 и 6, а также § 5.1 — 5.3 позволяет увидеть соответствующие аналогии в постановках проблем и методах их решения для нелинейных систем. Будем считать, что в множестве § 7.1. Постановка задачи. Основные этапы решения1. Постановка задачи.Задача отыскания решения системы нелинейных уравнений с
является существенно более сложной, чем рассмотренная в гл. 4 задача отыскания решения уравнения с одним неизвестным. Однако на практике она встречается значительно чаще, так как в реальных исследованиях интерес представляет, как правило, определение не одного, а нескольких параметров (нередкр их число доходит до сотен и тысяч). Найти точное решение системы, т.е. вектор удовлетворяющий уравнениям (7.1), практически невозможно. В отличие от случая решения систем линейных алгебраических уравнений использование прямых методов здесь исключается. Единственно реальный путь решения системы (7.1) состоит в использовании итерационных методов для получения приближенного решения Прежде чем перейти к изучению методов решения системы Пример 7.1. Рассмотрим систему уравнений
Здесь
Рис. 7.1 пересечения этих кривых дают решения системы. Если значения параметра Для дальнейшего удобно использовать сокращенную векторную форму записи систем. Наряду с вектором неизвестных
Будем считать функции
которая будет использована в дальнейшем. 2. Основные этапы решения.Как и в случае уравнения с одним неизвестным (см. гл. 4), отыскание решений начинают с этапа локализации. Для каждого из искомых решений х указывают множество, которое содержит только одно это решение и расположено в достаточно малой его окрестности. Часто в качестве такого множества выступает параллелепипед или шар в Иногда этап локализации не вызывает затруднений; соответствующие множества могут быть заданными, определяться из физических соображений, из смысла параметров х, либо быть известными из опыта решений подобных задач. Однако чаще всего задача локализации (в особенности при больших приближение На втором этапе для вычисления решения с заданной точностью Будем считать, что определения § 4.1, связанные с характеризацией сходимости итерационных методов, остаются в силе, причем в неравенствах (4.5) и (4.6) знак модуля заменен на знак нормы, а Пример 7.1. Произведем локализацию решений системы
На плоскости Из рис. 7.3 видно, что эти кривые пересекаются в трех точках Подчеркнем, что только по виду уравнений системы (7.4) без использования графического метода установить число решений и найти приближения к ним было бы весьма трудно. К сожалению, при числе уравнений Замечание. Иногда удается понизить порядок
Рис. 7.2.
Рис. 7.3 Пример 7.2. Система уравнений
сводится к одному нелинейному уравнению 3. Корректность и обусловленность задачи.Будем считать, что система (7.1) имеет решение х, причем в некоторой окрестности этого решения матрица Якоби В § 4.2 было установлено, что погрешность вычисления функции
Рис. 7.4 Аналогично, погрешности в вычислении вектор-функции приводят к появлению области неопределенности Таким образом, в рассматриваемой задаче роль абсолютного числа обусловленности играет норма матрицы, обратной матрице Якоби
|
1 |
Оглавление
|