Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 5.2. Нормы вектора и матрицы1. Норма вектора.Решением системы линейных алгебраических уравнений является вектор
Говорят, что в 1°) 2°) 3°) Заметим, что такими же свойствами обладает обычная геометрическая длина вектора в трехмерном пространстве. Свойство 3° в этом случае следует из правила сложения векторов и из того известного факта, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Существует множество различных способов введения норм. В вычислительных методах наиболее употребительными являются следующие три нормы:
Первые две из них являются частными случаями более общей нормы:
(при р = 1 и р = 2), а последняя, как можно показать, получается из нормы (5.5) предельным переходом при Замечание 1. Норма Замечание 2. Справедливы неравенства
указывающие на то, что в определенном смысле все три введенные нормы эквивалентны: каждая из них оценивается любой из двух других норм с точностью до множителя, зависящего от Пример 5.1. Найдем По формулам (5.4) определяем 2. Скалярное произведение.Напомним, что скалярным произведением векторов
Нетрудно установить, что В случае, когда векторы х, у имеют комплексные компоненты, скалярное произведение понимают так:
3. Абсолютная и относительная погрешности вектора.Далее будем всюду считать, что в пространстве
Выбор той или иной конкретной нормы в практических задачах диктуется тем, какие требования предъявляются к точности решения. Выбор нормы 4. Сходимость по норме.Пусть Замечание. Сам факт наличия или отсутствия сходимости одной из норм следует сходимость этой последовательности в 5. Норма матрицы.Величина
называется нормой матрицы А, подчиненной норме векторов, введенной в Заметим, что множество всех квадратных матриц размера 1°) 2°) 3°) Дополнительно к этому верны следующие свойства: 4°) 5°) для любой матрицы А и любого вектора х справедливо неравенство
Докажем, например, свойство 5°. Если Как следует из определения (5.9), каждой из векторных норм
где
Нормы Для получения значения первой из них нужно найти сумму модулей элементов каждого из столбцов матрицы А, а затем выбрать максимальную из этих сумм. Для получения значения Как правило, вычислить значение нормы
Здесь Норма (5.9) имеет простую геометрическую интерпретацию. Для того чтобы ее привести, заметим, что операцию умножения матрицы А на вектор х можно рассматривать как преобразование, которое переводит вектор х в новый вектор
представляет собой максимальный коэффициент растяжения векторов под действием матрицы А. Полезно отметить, что для невырожденной матрицы А минимальный коэффициент растяжения
Заметим, что в случае Пример 5.2. Для матрицы
найдем В соответствии с формулами (5.11), (5.13) и неравенством (5.14) имеем
|
1 |
Оглавление
|