§ 5.2. Нормы вектора и матрицы

1. Норма вектора.

Решением системы линейных алгебраических уравнений является вектор который будем рассматривать как элемент векторного пространства Приближенное решение и погрешность также являются элементами пространства Для того чтобы анализировать методы решения систем, необходимо уметь количественно оценивать "величины" векторов а также векторов и

, где вектор приближенно заданных правых частей. Удобной для этой цели количественной характеристикой является широко, используемое понятие нормы вектора.

Говорят, что в задана норма, если каждому вектору х из сопоставлено вещественное число называемое нормой вектора обладающее следующими свойствами:

1°) , причем тогда и только тогда, когда ;

2°) для любого вектора любого числа а;

3°) для любых ьекторов х и у, последнее неравенство принято называть неравенством треугольника.

Заметим, что такими же свойствами обладает обычная геометрическая длина вектора в трехмерном пространстве. Свойство 3° в этом случае следует из правила сложения векторов и из того известного факта, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Существует множество различных способов введения норм. В вычислительных методах наиболее употребительными являются следующие три нормы:

Первые две из них являются частными случаями более общей нормы:

(при р = 1 и р = 2), а последняя, как можно показать, получается из нормы (5.5) предельным переходом при

Замечание 1. Норма является естественным обобщением на случай -мерного пространства понятия длины вектора в двух- и трехмерных геометрических пространствах. Поэтому ее называют евклидовой нормой.

Замечание 2. Справедливы неравенства

указывающие на то, что в определенном смысле все три введенные нормы эквивалентны: каждая из них оценивается любой из двух других норм с точностью до множителя, зависящего от

Пример 5.1. Найдем для вектора

По формулам (5.4) определяем

2. Скалярное произведение.

Напомним, что скалярным произведением векторов называется величина

Нетрудно установить, что

В случае, когда векторы х, у имеют комплексные компоненты, скалярное произведение понимают так:

3. Абсолютная и относительная погрешности вектора.

Далее будем всюду считать, что в пространстве -мерных векторов введена и фиксирована некоторая норма (например, одна из норм В этом случае в качестве меры степени близости векторов естественно использовать величину являющуюся аналогом расстояния между точками Введем абсолютную и относительную погрешности вектора х с помощью формул

Выбор той или иной конкретной нормы в практических задачах диктуется тем, какие требования предъявляются к точности решения. Выбор нормы фактически отвечает случаю, когда малой должна быть суммарная абсолютная ошибка в компонентах решения; выбор соответствует критерию малости среднеквадратичной ошибки, а принятие в качестве нормы означает, что малой должна быть максимальная из абсолютных ошибок в компонентах решения.

4. Сходимость по норме.

Пусть последовательность векторов Говорят, что последовательность векторов сходится к вектору при при если при

Замечание. Сам факт наличия или отсутствия сходимости при в конечномерных пространствах не зависит от выбора нормы. Известно, что из сходимости последовательности по

одной из норм следует сходимость этой последовательности в по любой другой норме. Например, для норм это вытекает из неравенств (5.6). Более того, при тогда и только тогда, когда для всех имеем при сходимость по норме в эквивалентна покомпонентной (покоординатной) сходимости.

5. Норма матрицы.

Величина

называется нормой матрицы А, подчиненной норме векторов, введенной в

Заметим, что множество всех квадратных матриц размера является векторным пространством. Можно показать, что введенная в этом пространстве формулой (5.9) норма обладает следующими свойств вами, аналогичными свойствам нормы вектора:

1°) причем тогда и только тогда, когда .

2°) для любой матрицы А и любого числа а.

3°) для любых матриц

Дополнительно к этому верны следующие свойства:

4°) для любых матриц

5°) для любой матрицы А и любого вектора х справедливо неравенство

Докажем, например, свойство 5°. Если то неравенство (5.10) эквивалентно неравенству справедливость которого следует из определения (5.9). Если же то неравенство (5.10) превращается в верное числовое неравенство 00.

Как следует из определения (5.9), каждой из векторных норм соответствует своя подчиненная норма матрицы А. Известно, в частности, что нормам и подчинены нормы и вычисляемые по формулам

где собственные числа матрицы

Нормы вычисляются просто (см. ниже пример 5.2).

Для получения значения первой из них нужно найти сумму модулей элементов каждого из столбцов матрицы А, а затем выбрать максимальную из этих сумм. Для получения значения нужно аналогичным образом поступить со строками матрицы А.

Как правило, вычислить значение нормы бывает трудно, так как для этого следует искать собственные числа Для оценки величины можно, например, использовать неравенство

Здесь величина, называемая евклидовой нормой матрицы А.

Норма (5.9) имеет простую геометрическую интерпретацию. Для того чтобы ее привести, заметим, что операцию умножения матрицы А на вектор х можно рассматривать как преобразование, которое переводит вектор х в новый вектор Если значение интерпретируется как длина вектора х, то величина есть коэффициент растяжения вектора х под действием матрицы А. Таким образом, величина

представляет собой максимальный коэффициент растяжения векторов под действием матрицы А. Полезно отметить, что для невырожденной матрицы А минимальный коэффициент растяжения отвечает норме обратной матрицы и вычисляется по формуле

Заметим, что в случае происходит сжатие векторов под действием матрицы А.

Пример 5.2. Для матрицы

найдем и оценим

В соответствии с формулами (5.11), (5.13) и неравенством (5.14) имеем