§ 14.12. Дополнительные замечания
1. К настоящему времени разработано большое число различных численных методов решения задачи Коши и работа в этом направлении ведется очень активно. Тем не менее наиболее популярными остаются классические методы Рунге-Кутты и Адамса, а также их современные модификации. Каждый из этих двух классов методов имеет определенные достоинства и недостатки, некоторые из них уже обсуждались выше. Не имея перед собой конкретной задачи, вряд ли можно дать рекомендации в пользу того или иного метода, тем более что до сих пор в этом вопросе нет достаточной ясности. Однако ориентируясь на серьезное обсуждение оценки качества методов, приведенное в книге [74], можно попытаться грубо описать ситуации, в которых они обладают большей эффективностью. При этом следует иметь в виду, что одним из основных показателей эффективности метода является количество вычислений правых частей дифференциальных уравнений, которое требуется для достижения заданной точности решения.
Предположим, что решаемая задача Коши не является жесткой. Предположим также, что вычисление правых частей дифференциальных уравнений не является слишком трудоемкой операцией. Тогда целесообразно применение методов Рунге-Кутты с автоматическим выбором шага, наиболее эффективным среди которых для широкого класса задач является метод Рунге-Кутты—Фельберга
пятого порядка точности. Если же к точности решения не предъявляются слишком высокие требования, то хороший результат следует ожидать и от применения классического метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности.
В том случае, когда вычисления правых частей трудоемки (на каждую из них приходится в среднем более 25 арифметических операций) имеет смысл предпочесть использование качественной программы, реализующей метод Адамса с автоматическим выбором шага и порядка метода. По-видимому, именно эти методы в будущем станут наиболее употребительными.
2. После того как приближенные значения 
решения задачи Коши в узлах 
определены, для вычисления значений решения 
в промежуточных точках можно использовать интерполяцию. В связи с этим полезно отметить, что наряду со значениями вектор-функции 
фактически оказываются вычисленными значения производной 
Поэтому в данном случае для интерполяции естественно использование кубического интерполяционного многочлена Эрмита или локального кубического сплайна (см. гл. 11). Для методов первого или второго порядка точности вполне удовлетворительный результат дает использование линейной интерполяции.
3. Поиск эффективных методов решения жестких задач еще находится в начальной стадии. Тем не менее разработан ряд популярных алгоритмов (среди которых наиболее известен алгоритм Гира) и создано значительное число качественных программ. Вопрос о наиболее эффективном методе решения жестких задач остается открытым и какие-либо рекомендации здесь преждевременны. В последнее время выявилась достаточная перспективность применения для решения таких задач специальных неявных методов Рунге-Кутты [26]. Подчеркнем еще раз, что явные методы Рунге-Кутты для этой цели совершенно непригодны.
4. Дополнительную информацию о методах решения задачи Коши (и полезное обсуждение жестких задач) можно найти, например, в учебниках [9], [14], [43], [60], [69], [71], [86]. Настоятельно советуем обратить внимание на две весьма содёржательные книги [74] и [88]. Вторая из них содержит систематическое и доступное широкому кругу читателей изложение численных методов решения нежестких задач. Методам решения жестких задач специально посвящены монографии [68], [26], последняя из которых содержит современный взгляд на эту проблему.
