§ 2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности
В предыдущем параграфе было отмечено, что числа, получаемые при решении на ЭВМ прикладных задач, как правило, являются
приближенными. Следовательно, вопрос о точности результатов, т.е. о мере их уклонения от истинных значений, в теории и практике методов вычислений приобретает особое значение. Начнем его рассмотрение с введения основных понятий элементарной теории погрешностей.
Условимся относительно обозначений, которые в дальнейшем будут использоваться при сравнении величин. Кроме привычных знаков,
будем использовать знаки приближенного равенства
и приближенного неравенства
В случае, когда положительные величины a и b являются величинами одного порядка (т.е.
будем использовать обозначение а
Если же а много меньше
, то будем писать
что эквивалентно соотношению
1. Абсолютная и относительная погрешности.
Пусть а — точное (вообще говоря, неизвестное) значение некоторой величины, а — известное приближенное значение той же величины (приближенное число). Ошибкой (или погрешностью) приближенного числа а называют разность
между точным и приближенным значениями.
Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность
Однако по величине абсолютной погрешности далеко не всегда можно сделать правильное заключение о качестве приближения. Действительно, если
то следует ли считать погрешность большой или нужно признать ее малой? Ответ существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин. Если
, то скорее всего точность приближения невелика; если же а
то следует признать точность очень высокой. Таким образом, естественно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности (при
Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения. Заметим, что для приведенного выше примера
в первом случае и
во втором.
Так как значение а неизвестно, то непосредственное вычисление величин
по формулам (2.1), (2.2) невозможно. Более
реальная и часто поддающаяся решению задача состоит в получении оценок погрешности вида
где
известные величины, которые мы будем называть верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.
Если величина
известна, то неравенство (2.4) будет выполнено, если положить
Точно так же если величина
известна, то следует положить
Поскольку значение а неизвестно, при практическом применении формулы (2.5), (2.6) заменяют приближенными равенствами
Замечание. В литературе по методам вычислений широко используется термин "точность". Принято говорить о точности входных данных и решения, о повышении и снижении точности вычислений и т.д. Мы также будем использовать эту терминологию, за которой скрывается довольно простой смысл. Точность в качественных рассуждениях обычно выступает как противоположность погрешности, хотя для количественного их измерения используются одни и те же характеристики (например, абсолютная и относительная погрешности). Точное значение величины — это значение, не содержащее погрешности. Повышение точности воспринимается как уменьшение погрешности, а снижение точности — как увеличение погрешности. Часто используемая фраза "требуется найти решение с заданной точностью
означает, что ставится задача о нахождении приближенного решения, принятая мера погрешности которого не превышает заданной величины
Вообще говоря, следовало бы говорить об абсолютной точности и относительной точности, но часто этого не делают, считая, что из контекста ясно, как измеряется величина погрешности.