2. Примеры плохо обусловленных задач.

Первым рассмотрим классический пример, принадлежащий Дж. Уилкинсону [83].

Пример 3.8. Пусть требуется найти корни многочлена

по заданным значениям его коэффициентов. Из теории известно, что эта задача устойчива. Возьмем коэффициент при и изменим его значение на Как повлияет эта, казалось бы, незначительная ошибка на значения корней? Заметим, что точные значения корней.

Вычисленные с высокой точностью корни возмущенного многочлена таковы:

Как нетрудно видеть, корни оказались практически нечувствительны к погрешностям в коэффициенте а. В то же время некоторые корни превратились в комплексные и имеют относительные погрешности от 6 до 18%, несмотря на то, что

В данном случае нетрудно провести анализ чувствительности корней. Пусть Будем рассматривать корни как функции параметра а, т.е. Равенство выполненное в окрестности задает как неявную функцию от а. Пользуясь второй из формул (2.22) для границы относительной погрешности и применяя формулу (2.23) для производной неявной функции, имеем где Учитывая, что получаем

Вычисление чисел дает следующие значения:

свидетельствующие о чрезвычайно плохой обусловленности старших корней.

Следует обратить серьезное внимание на то, что задача вычисления корней многочленов высокой степени часто оказывается плохо обусловленной. Поэтому имеет смысл с определенной осторожностью относиться к алгоритмам, составной частью которых является вычисление корней многочленов высокой степени.

К сожалению, эта задача может быть плохо обусловленной и для многочленов невысокой степени, в особенности, если вычисляются кратные корни.

Пример 3.9. Пусть ищется решение уравнения с кратным корнем. Ошибка в младшем коэффициенте, равная приводит к уравнению имеющему следующие корни: В этом случае ошибка в в одном из коэффициентов привела к погрешности решения в 1%, что явно говорит о плохой обусловленности задачи.