2. Примеры плохо обусловленных задач.
Первым рассмотрим классический пример, принадлежащий Дж. Уилкинсону [83].
Пример 3.8. Пусть требуется найти корни многочлена
по заданным значениям его коэффициентов. Из теории известно, что эта задача устойчива. Возьмем коэффициент
при
и изменим его значение на
Как повлияет эта, казалось бы, незначительная ошибка на значения корней? Заметим, что
точные значения корней.
Вычисленные с высокой точностью корни возмущенного многочлена таковы:
Как нетрудно видеть, корни
оказались практически нечувствительны к погрешностям в коэффициенте а. В то же время некоторые корни превратились в комплексные и имеют относительные погрешности от 6 до 18%, несмотря на то, что
В данном случае нетрудно провести анализ чувствительности корней. Пусть
Будем рассматривать корни
как функции параметра а, т.е.
Равенство
выполненное в окрестности
задает
как неявную функцию от а. Пользуясь второй из формул (2.22) для границы относительной погрешности и применяя формулу (2.23) для производной неявной функции, имеем
где
Учитывая, что
получаем
Вычисление чисел
дает следующие значения:
свидетельствующие о чрезвычайно плохой обусловленности старших корней.
Следует обратить серьезное внимание на то, что задача вычисления корней многочленов высокой степени часто оказывается плохо обусловленной. Поэтому имеет смысл с определенной осторожностью относиться к алгоритмам, составной частью которых является вычисление корней многочленов высокой степени.
К сожалению, эта задача может быть плохо обусловленной и для многочленов невысокой степени, в особенности, если вычисляются кратные корни.
Пример 3.9. Пусть ищется решение уравнения
с кратным корнем. Ошибка в младшем коэффициенте, равная
приводит к уравнению
имеющему следующие корни:
В этом случае ошибка в
в одном из коэффициентов привела к погрешности решения в 1%, что явно говорит о плохой обусловленности задачи.