§ 11.8. Разделенные разности
1. Таблица разделенных разностей.
Пусть функция 
задана на таблице 
значений аргумента с произвольным (не обязательно постоянным) шагом, причем точки таблицы занумерованы в произвольном (не обязательно возрастающем) порядке. Величины 
принято называть разделенными разностями первою порядка функции 
Разделенные разности второю порядка определяются формулой
Аналогично определяются разделенные разности третьего и более высоких порядков. Общее определение разделенной разности порядка 
таково:
Таблицу разделенных разностей обычно располагают следующим образом:
Таблица 11.6 (см. скан)
2. Свойства разделенных разностей.
Разделенные разности обладают рядом замечательных свойств. Перечислим без доказательства некоторые из них.
1°. Разделенная разность 
является симметричной функцией своих аргументов 
ее значение не меняется при любой их перестановке).
2°. Пусть функция 
имеет на отрезке 
содержащем точки 
производную порядка k. Тогда справедливо равенство
где 
некоторая точка, расположенная на интервале 
3°. В случае, когда таблица значений аргумента имеет постоянный шаг 
разделенная и конечная разности связаны равенством
Пример 11.7. Приведем таблицу (табл. 11.7) разделенных разностей для функции, заданной табл. 11.1. Вычисления произведены на 
-разрядной десятичной ЭВМ.
Таблица 11.7 (см. скан)
Перенумеруем теперь узлы, положив 
Тогда таблица разделенных разностей примет следующий вид:
Таблица 11.8 (см. скан)
В табл. 11.8 подчеркнуты разделенные разности, которые совпадают (как и должно быть в силу свойства 1°) с точностью до вычислительной погрешности с соответствующими разделенными разностями из табл. 11.7 (они также подчеркнуты).
