Глава 15. РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Двухточечная краевая задача — это задача отыскания решения обыкновенного дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке при условии, что дополнительные условия на решение налагаются в двух точках "краях" отрезка (отсюда — и название задачи).

Решить краевую задачу, вообще говоря, значительно труднее, чем задачу Коши и для этого используются разнообразные подходы. Наиболее распространены различные методы дискретизации, позволяющие заменить исходную задачу некоторым ее дискретным аналогом. Получающаяся дискретная краевая задача представляет собой систему уравнений (возможно, нелинейных) с конечным числом неизвестных и может быть решена на ЭВМ с помощью специальных прямых или итерационных методов. Одним из простейших и весьма популярных подходов к дискретизации является использование метода конечных разностей. В §§ 15.2 и 15.3 рассматриваются некоторые из основных моментов применения этого метода.

В § 15.4 дается представление о другом подходе к дискретизации краевых задач. В нем описываются проекционные методы Ритца и Галеркина и обсуждается один из их современных вариантов, имеющий большое практическое значение, — метод конечных элементов.

В заключение главы рассматривается метод пристрелки.

§ 15.1. Краевые задачи для одномерного стационарного уравнения теплопроводности

1. Дифференциальное уравнение и краевые условия.

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

Оно называется одномерным стационарным уравнением теплопроводности и возникает при математическом моделировании многих важных процессов. Например, это уравнение описывает установившееся распределение температуры и в теплопроводящем стержне длины В этом случае к коэффициент теплопроводности; — плотность потока тепла; коэффициент теплоотдачи мощность стоков тепла, пропорциональная температуре плотность источников тепла (при плотность стоков тепла).

Уравнение (15.1) описывает также установившееся распределение плотности нейтронов в реакторе, характеристики которого зависят от одной пространственной переменной х. В такой трактовка и это полный поток нейтронов, коэффициент диффузии, сечение поглощения, плотность источников нейтронов. То же уравнение описывает и стационарные процессы диффузии газов (растворов) в пористых средах; и рассматривается тогда как концентрация диффундирующего вещества. Поэтому уравнение (15.1) часто называют одномерным уравнением диффузии. Рассматриваемое уравнение имеет приложения и в других областях техники и естествознания (деформации струн и стержней, распространение электромагнитных волн и т. д.)

Далее будем считать функции к заданными и предполагать, что выполнены неравенства

Так как уравнение (15.1) является дифференциальным уравнением второго порядка, то для того чтобы однозначно найти функцию и распределение температуры в стержне, необходимо задать два дополнительных условия. Простейшая постановка краевых условий такова:

Краевые условия такого типа принято называть краевыми условиями первою рода. Физическая интерпретация этих краевых условий состоит в том, что в рассматриваемой задаче на торцах стержня поддерживаются фиксированные значения температуры

Возможны и другие постановки краевых условий. Так, если известна плотность потока тепла через левый торец стержня, то условие и можно заменить краевым условием второю рода:

Аналогичное условие для правого торца имеет вид

Основное внимание в этой главе будет уделено краевой задаче

Здесь дифференциальный оператор, определяемый следующим образом:

2. Разрешимость краевой задачи.

Будем считать, что коэффициенты непрерывны на отрезке коэффициент к непрерывно дифференцируем на и выполнены условия (15.2).

Назовем дважды непрерывно дифференцируемую на отрезке функцию и решением (классическим решением) краевой задачи (15.3), (15.4), если и является решением дифференциального уравнения (15.3) и удовлетворяет краевым условиям (15.4).

Приведем без доказательства известные из теории дифференциальных уравнений результаты о разрешимости рассматриваемой краевой задачи и о гладкости ее решения.

Теорема 15.1. Решение краевой задачи (15.3), (15.4) существует и единственно.

Теорема 15.2. Пусть коэффициенты являются раз, а коэффициент раз непрерывно дифференцируемыми на отрезке функциями. Тогда решение и краевой задачи (15.3), (15.4) есть непрерывно дифференцируемая раза на отрезке функция.

3. Принцип максимума.

Важным свойством уравнения (15.3) является наличие так называемого принципа максимума. Приведем один из вариантов его формулировки.

Теорема 15.3. Пусть и решение задачи (15.3), (15.4). Тогда если то и

Теорема 15.3 имеет простой физический смысл. Если отсутствуют источники тепла и температура торцов стержня неположительна, то ни в одной из внутренних точек стержня температура не может стать положительной.

Заметим, что произвольную дважды непрерывно дифференцируемую функцию и можно рассматривать как решение краевой задачи (15.3), (15.4), если специальным образом выбрать правую часть и краевые значения а именно положить Учитывая это замечание, сформулируем теорему 15.3 иным образом.

Теорема 15.4. Пусть и дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке функция, удовлетворяющая неравенствам Тогда и

Из теоремы 15.4 вытекает следующее утверждение. Теорема 15.5 (теорема сравнения). Пусть и дважды непрерывно дифференцируемые на отрезке функции, удовлетворяющие неравенствам и Тогда и

4. Априорная оценка и устойчивость решения.

Используя теорему сравнения, можно вывести оценку максимума модуля решения и через данные краевой задачи.

Теорема 15.6. Справедлива следующая оценка решения краевой задачи (15.3), (15.4):

Здесь

Замечание 1. Неравенства типа (15.5) принято называть априорными оценками решения.

Замечание 2. Если коэффициент к рассматривать как коэффициент теплопроводности, то это коэффициент теплосопротивления, — это полное теплосопротивление стержня.

Замечание 3. При уравнение (15.3) принимает вид

В этом случае и оценку (15.5) можно уточнить следующим образом:

Рассмотрим теперь вопрос о влиянии погрешностей задания краевых значений и правой части на решение краевой задачи. Пусть и решение краевой задачи (15.3), (15.4), а решение краевой задачи

Здесь непрерывная функция, рассматриваемая как приближенно заданная (с погрешностью правая часть уравнения; и, и приближенно заданные (с погрешностями краевые значения.

Теорема 15.7. Справедлива оценка

где — та же постоянная, что и в неравенстве (15.5).

Для доказательства достаточно заметить, что функция является решением краевой задачи

и воспользоваться для оценки величины теоремой 15.6.

Из оценки (15.8) видно, что в случае, когда величина К не очень велика, краевая задача (15.3), (15.4) хорошо обусловлена. Если же то задача является плохо обусловленной. В этом случае погрешности порядка 8 задания правой части уравнений может отвечать погрешность порядка решения задачи. Ниже при рассмотрении численных методов решения краевой задачи будем предполагать, что она хорошо обусловлена.

Замечание. Если рассматривается устойчивость решения краевой задачи для уравнения (15.6), то в оценке (15.8) следует заменить К на