Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ§ 3.1. Корректность вычислительной задачи1. Постановка вычислительной задачи.Под вычислительной задачей будем понимать одну из трех задач, которые возникают при анализе математических моделей: прямую задачу, обратную задачу или задачу идентификации (см. § 1.2). Слово "вычислительная" подчеркивает, что основные усилия будут направлены на то, чтобы найти (вычислить) ее решение. Будем считать, что постановка задачи включает в себя задание множества допустимых входных данных X и множества возможных решений 2. Определение корректности задачи.Анализ важнейших требований, предъявляемых к различным прикладным задачам, приводит к понятию корректности математической задачи, которое было впервые сформулировано Ж. Адамаром и развито затем И. Г. Петровским. Вычислительная задача называется корректной (по Адамару — Петровскому), если выполнены следующие три требования: 1) ее решение У существует при любых входных данных Существование решения вычислительной задачи — естественное требование к ней. Отсутствие решения может свидетельствовать, например, о непригодности принятой математической модели либо о неправильной постановке задачи. Иногда отсутствие решения является следствием неправильного выбора множества допустимых входных данных X или множества возможных решений У. Пример 3.1. Рассмотрим задачу о решении квадратного уравнения
Старший коэффициент а считается равным единице; этого всегда можно добиться делением уравнения на а. Если считать входным данным пару коэффициентов
будет гарантировано только в том случае, если ограничить множество входных данных коэффициентами, удовлетворяющими условию Так как математическая модель не является абсолютно точным отражением реальной ситуации, то даже в случае, когда исходная проблема заведомо имеет решение, соответствующая вычислительная задача может и не оказаться разрешимой. Конечно, такая ситуация говорит о серьезном дефекте в постановке задачи. В некоторых случаях отсутствие решения математической задачи приводит к пониманию того, что первоначально сформулированная проблема неразрешима и нуждается в серьезной корректировке. 3. Единственность.Для некоторых вычислительных задач единственность является естественным свойством; для других же решение может и не быть единственным. Например, квадратное уравнение (3.1) имеет два корня (3.2). Как правило, если задача имеет реальное содержание, то неединственность может быть ликвидирована введением дополнительных ограничений на решение (т.е. сужением множества У). В некоторых случаях проблема снимается тем, что признается целесообразным найти набор всех решений, отвечающих входным данным х, и тогда за решение у принимается этот набор. Например, для уравнения (3.1) решением можно назвать пару Неединственность решения вычислительной задачи — весьма неприятное свойство. Оно может быть проявлением неправильной постановки исходной прикладной проблемы, неоднозначности ее решения или сигналом о неудачном выборе математической модели. 4. Устойчивость решения.Решение у вычислительной задачи называется устойчивым по входным данным х, если оно зависит от входных данных непрерывным образом. Это означает, что для любого
Рис. 3.1 Неустойчивость решения у означает, что существует такое Приведем простейшие примеры устойчивых и неустойчивых задач. Пример 3.2. Задача вычисления корней квадратного уравнения (3.1) устойчива, так как корни (3.2) являются непрерывными функциями коэффициентов Пример 3.3. Задача о вычислении ранга матрицы в общем случае неустойчива. В самом деле, для матрицы Пример 3.4. Покажем, что задача вычисления определенного интеграла Пусть
то для любого Пример 3.5. Покажем, что задача вычисления производной и Пусть Возьмем, например Различие в ситуациях, возникающих при приближенном задании функции
Рис. 3.2 Одна и та же задача может оказаться как устойчивой, так и неустойчивой в зависимости от выбора способа вычисления абсолютных погрешностей Пример 3.6. Рассмотрим задачу о вычислении суммы сходящегося ряда
В то же время, если можно задавать 5. Относительная устойчивость решения.Часто требование малости абсолютной погрешности является неоправданным или трудно проверяемым. В таких случаях полезно рассмотреть относительную устойчивость решения, определение которой отличается от данного выше определения устойчивости (абсолютной устойчивости) только тем, что Пример 3.7. Вернемся к задаче вычисления суммы ряда
Следовательно, задача вычисления суммы сходящегося ряда Замечание. Так как для решения вычислительных задач используют 6. О некорректных задачах.Длительное время считалось, что некорректные задачи, решения которых неустойчивы, не имеют физического смысла и не представляют ценности для приложений. Однако это мнение оказалось ошибочным. Как выяснилось, многие важные прикладные задачи некорректны. Не вызывает, например, сомнения практическая важность решения некорректных задач дифференцирования и суммирования ряда (см. примеры 3.5, 3.6). К некорректным задачам относятся также обратные задачи геофизики, астрофизики, спектрографии, многие задачи распознавания образов, задачи синтеза и ряд других прикладных задач. К настоящему времени разработана теория решения многих классов некорректных задач. Важная роль в создании методов решения таких задач принадлежит российским математикам, в первую очередь А. Н. Тихонову. Эти методы (методы регуляризации) довольно сложны и выходят за рамки данной книги. Для первого знакомства с ними можно рекомендовать учебное пособие [79].
|
1 |
Оглавление
|