Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ§ 3.1. Корректность вычислительной задачи1. Постановка вычислительной задачи.Под вычислительной задачей будем понимать одну из трех задач, которые возникают при анализе математических моделей: прямую задачу, обратную задачу или задачу идентификации (см. § 1.2). Слово "вычислительная" подчеркивает, что основные усилия будут направлены на то, чтобы найти (вычислить) ее решение. Будем считать, что постановка задачи включает в себя задание множества допустимых входных данных X и множества возможных решений 2. Определение корректности задачи.Анализ важнейших требований, предъявляемых к различным прикладным задачам, приводит к понятию корректности математической задачи, которое было впервые сформулировано Ж. Адамаром и развито затем И. Г. Петровским. Вычислительная задача называется корректной (по Адамару — Петровскому), если выполнены следующие три требования: 1) ее решение У существует при любых входных данных Существование решения вычислительной задачи — естественное требование к ней. Отсутствие решения может свидетельствовать, например, о непригодности принятой математической модели либо о неправильной постановке задачи. Иногда отсутствие решения является следствием неправильного выбора множества допустимых входных данных X или множества возможных решений У. Пример 3.1. Рассмотрим задачу о решении квадратного уравнения
Старший коэффициент а считается равным единице; этого всегда можно добиться делением уравнения на а. Если считать входным данным пару коэффициентов
будет гарантировано только в том случае, если ограничить множество входных данных коэффициентами, удовлетворяющими условию Так как математическая модель не является абсолютно точным отражением реальной ситуации, то даже в случае, когда исходная проблема заведомо имеет решение, соответствующая вычислительная задача может и не оказаться разрешимой. Конечно, такая ситуация говорит о серьезном дефекте в постановке задачи. В некоторых случаях отсутствие решения математической задачи приводит к пониманию того, что первоначально сформулированная проблема неразрешима и нуждается в серьезной корректировке. 3. Единственность.Для некоторых вычислительных задач единственность является естественным свойством; для других же решение может и не быть единственным. Например, квадратное уравнение (3.1) имеет два корня (3.2). Как правило, если задача имеет реальное содержание, то неединственность может быть ликвидирована введением дополнительных ограничений на решение (т.е. сужением множества У). В некоторых случаях проблема снимается тем, что признается целесообразным найти набор всех решений, отвечающих входным данным х, и тогда за решение у принимается этот набор. Например, для уравнения (3.1) решением можно назвать пару Неединственность решения вычислительной задачи — весьма неприятное свойство. Оно может быть проявлением неправильной постановки исходной прикладной проблемы, неоднозначности ее решения или сигналом о неудачном выборе математической модели. 4. Устойчивость решения.Решение у вычислительной задачи называется устойчивым по входным данным х, если оно зависит от входных данных непрерывным образом. Это означает, что для любого
Рис. 3.1 Неустойчивость решения у означает, что существует такое Приведем простейшие примеры устойчивых и неустойчивых задач. Пример 3.2. Задача вычисления корней квадратного уравнения (3.1) устойчива, так как корни (3.2) являются непрерывными функциями коэффициентов Пример 3.3. Задача о вычислении ранга матрицы в общем случае неустойчива. В самом деле, для матрицы Пример 3.4. Покажем, что задача вычисления определенного интеграла Пусть
то для любого Пример 3.5. Покажем, что задача вычисления производной и Пусть Возьмем, например Различие в ситуациях, возникающих при приближенном задании функции
Рис. 3.2 Одна и та же задача может оказаться как устойчивой, так и неустойчивой в зависимости от выбора способа вычисления абсолютных погрешностей Пример 3.6. Рассмотрим задачу о вычислении суммы сходящегося ряда
В то же время, если можно задавать 5. Относительная устойчивость решения.Часто требование малости абсолютной погрешности является неоправданным или трудно проверяемым. В таких случаях полезно рассмотреть относительную устойчивость решения, определение которой отличается от данного выше определения устойчивости (абсолютной устойчивости) только тем, что Пример 3.7. Вернемся к задаче вычисления суммы ряда
Следовательно, задача вычисления суммы сходящегося ряда Замечание. Так как для решения вычислительных задач используют 6. О некорректных задачах.Длительное время считалось, что некорректные задачи, решения которых неустойчивы, не имеют физического смысла и не представляют ценности для приложений. Однако это мнение оказалось ошибочным. Как выяснилось, многие важные прикладные задачи некорректны. Не вызывает, например, сомнения практическая важность решения некорректных задач дифференцирования и суммирования ряда (см. примеры 3.5, 3.6). К некорректным задачам относятся также обратные задачи геофизики, астрофизики, спектрографии, многие задачи распознавания образов, задачи синтеза и ряд других прикладных задач. К настоящему времени разработана теория решения многих классов некорректных задач. Важная роль в создании методов решения таких задач принадлежит российским математикам, в первую очередь А. Н. Тихонову. Эти методы (методы регуляризации) довольно сложны и выходят за рамки данной книги. Для первого знакомства с ними можно рекомендовать учебное пособие [79].
|
1 |
Оглавление
|