Главная > Вычислительные методы для инженеров
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

§ 3.1. Корректность вычислительной задачи

1. Постановка вычислительной задачи.

Под вычислительной задачей будем понимать одну из трех задач, которые возникают при анализе математических моделей: прямую задачу, обратную задачу или задачу идентификации (см. § 1.2). Слово "вычислительная" подчеркивает, что основные усилия будут направлены на то, чтобы найти (вычислить) ее решение.

Будем считать, что постановка задачи включает в себя задание множества допустимых входных данных X и множества возможных решений Цель вычислительной задачи состоит в нахождении решения по заданному входному данному Для простоты понимания достаточно ограничиться рассмотрением задач, в которых входные данные и решение могут быть только числами, наборами чисел (векторами, матрицами, последовательностями) и функциями. Предположим, что для оценки величин погрешностей приближенных входных данных х и приближенного решения у введены абсолютные и относительные погрешности а также их границы . Определения этих величин в случае, когда х и у — числа, были даны в § 2.2. В тех случаях, когда входные данные или решение не являются числами, эти характеристики погрешностей также можно ввести естественным образом; мы будем это делать по мере необходимости.

2. Определение корректности задачи.

Анализ важнейших требований, предъявляемых к различным прикладным задачам, приводит к понятию корректности математической задачи, которое было впервые сформулировано Ж. Адамаром и развито затем И. Г. Петровским.

Вычислительная задача называется корректной (по Адамару — Петровскому), если выполнены следующие три требования: 1) ее решение У существует при любых входных данных это решение единственно; 3) решение устойчиво по отношению к малым возмущениям входных данных. В том случае, когда хотя бы одно из этих требований не выполнено, задача называется некорректной.

Существование решения вычислительной задачи — естественное требование к ней. Отсутствие решения может свидетельствовать, например, о непригодности принятой математической модели либо о неправильной постановке задачи. Иногда отсутствие решения является следствием неправильного выбора множества допустимых входных данных X или множества возможных решений У.

Пример 3.1. Рассмотрим задачу о решении квадратного уравнения

Старший коэффициент а считается равным единице; этого всегда можно добиться делением уравнения на а. Если считать входным данным пару коэффициентов с и искать решение в множестве вещественных чисел, то существование решений

будет гарантировано только в том случае, если ограничить множество входных данных коэффициентами, удовлетворяющими условию Если же расширить множество возможных решений и считать, что корни (3.2) могут принимать комплексные значения, то задача будет иметь решение при любых

Так как математическая модель не является абсолютно точным отражением реальной ситуации, то даже в случае, когда исходная проблема заведомо имеет решение, соответствующая вычислительная задача может и не оказаться разрешимой. Конечно, такая ситуация говорит о серьезном дефекте в постановке задачи. В некоторых случаях отсутствие решения математической задачи приводит к пониманию

того, что первоначально сформулированная проблема неразрешима и нуждается в серьезной корректировке.

3. Единственность.

Для некоторых вычислительных задач единственность является естественным свойством; для других же решение может и не быть единственным. Например, квадратное уравнение (3.1) имеет два корня (3.2). Как правило, если задача имеет реальное содержание, то неединственность может быть ликвидирована введением дополнительных ограничений на решение (т.е. сужением множества У). В некоторых случаях проблема снимается тем, что признается целесообразным найти набор всех решений, отвечающих входным данным х, и тогда за решение у принимается этот набор. Например, для уравнения (3.1) решением можно назвать пару

Неединственность решения вычислительной задачи — весьма неприятное свойство. Оно может быть проявлением неправильной постановки исходной прикладной проблемы, неоднозначности ее решения или сигналом о неудачном выборе математической модели.

4. Устойчивость решения.

Решение у вычислительной задачи называется устойчивым по входным данным х, если оно зависит от входных данных непрерывным образом. Это означает, что для любого существует такое, что всякому исходному данному х, удовлетворяющему условию отвечает приближенное решение у, для которого Таким образом, для устойчивой вычислительной задачи ее решение теоретически можно найти со сколь угодно высокой точностью если обеспечена достаточно высокая точность 6 входных данных. Схематически ситуация изображена на рис. 3.1. Множества тех х и у, для которых изображены как окрестности точек имеющие радиусы Требование увеличить точность решения приводит автоматически к повышению требований к точности данных; соответствующие окрестности на рис. 3.1 отмечены пунктиром.

Рис. 3.1

Неустойчивость решения у означает, что существует такое что какое бы малое ни было задано, найдутся такие исходные данные х, что но

Приведем простейшие примеры устойчивых и неустойчивых задач.

Пример 3.2. Задача вычисления корней квадратного уравнения (3.1) устойчива, так как корни (3.2) являются непрерывными функциями коэффициентов .

Пример 3.3. Задача о вычислении ранга матрицы в общем случае неустойчива. В самом деле, для матрицы ранг равен 1, поскольку и существует ненулевой элемент Однако сколь угодно малое возмущение коэффициента на величину приводит к матрице для которой следовательно, ранг равен 2.

Пример 3.4. Покажем, что задача вычисления определенного интеграла устойчива.

Пусть приближенно заданная интегрируемая функция и Определим абсолютную погрешность функции с помощью равенства в котором знак можно заменить на если непрерывны. Так как

то для любого неравенство будет выполнено, если потребовать вьшолнение условия .

Пример 3.5. Покажем, что задача вычисления производной и приближенно заданной функции является неустойчивой.

Пусть приближенно заданная на отрезке непрерывно дифференцируемая функция Определим абсолютные погрешности с помощью равенств

Возьмем, например где Тогда в то время как Таким образом, сколь угодно малой погрешности задания функции может отвечать сколь угодно большая погрешность производной

Различие в ситуациях, возникающих при приближенном задании функции в задачах интегрирования и дифференцирования, отражено на рис. 3.2. Видно, что уменьшение величины влечет за собой уменьшение величина не превышает заштрихованной площади), в то время как производные могут отличаться сколь угодно сильно.

Рис. 3.2

Одна и та же задача может оказаться как устойчивой, так и неустойчивой в зависимости от выбора способа вычисления абсолютных погрешностей . В реальных задачах этот выбор определяется тем, в каком смысле должно быть близко приближенное решение к точному и малость какой из мер погрешности входных данных можно гарантировать.

Пример 3.6. Рассмотрим задачу о вычислении суммы сходящегося ряда с приближенно заданными слагаемыми Если определяется таким образом, что гарантируется малость для всех к, то для последовательности естественно положить такой постановке задача неустойчива. Чтобы убедиться в этом, достаточно положить (где ) для для Тогда для суммы ряда имеем Следовательно, как бы ни была мала величина абсолютную погрешность суммы ряда с помощью выбора можно сделать сколь угодно большой. Если же положить

для всех к, то сумма ряда вообще станет бесконечной, т.е. ряд станет расходящимся.

В то же время, если можно задавать так, чтобы оказалась малой величина то и в такой постановке задача устойчива.

5. Относительная устойчивость решения.

Часто требование малости абсолютной погрешности является неоправданным или трудно проверяемым. В таких случаях полезно рассмотреть относительную устойчивость решения, определение которой отличается от данного выше определения устойчивости (абсолютной устойчивости) только тем, что заменяются на соответственно.

Пример 3.7. Вернемся к задаче вычисления суммы ряда а из примера 3.6. Предположим, что для всех k. Часто можно гарантировать малость величины Тогда и поэтому Таким образом,

Следовательно, задача вычисления суммы сходящегося ряда относительно устойчива, если он сходится абсолютно (т.е. сходится ряд же ряд сходится только условно, т.е. то задача не является относительно устойчивой.

Замечание. Так как для решения вычислительных задач используют точность которых определяется разрядностью мантиссы или эквивалентной величиной границы относительной погрешности округления ем, то представляется более естественным исследование относительной устойчивости.

6. О некорректных задачах.

Длительное время считалось, что некорректные задачи, решения которых неустойчивы, не имеют физического смысла и не представляют ценности для приложений. Однако это мнение оказалось ошибочным. Как выяснилось, многие важные прикладные задачи некорректны. Не вызывает, например, сомнения

практическая важность решения некорректных задач дифференцирования и суммирования ряда (см. примеры 3.5, 3.6). К некорректным задачам относятся также обратные задачи геофизики, астрофизики, спектрографии, многие задачи распознавания образов, задачи синтеза и ряд других прикладных задач.

К настоящему времени разработана теория решения многих классов некорректных задач. Важная роль в создании методов решения таких задач принадлежит российским математикам, в первую очередь А. Н. Тихонову. Эти методы (методы регуляризации) довольно сложны и выходят за рамки данной книги. Для первого знакомства с ними можно рекомендовать учебное пособие [79].

1
Оглавление
email@scask.ru