Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

§ 3.1. Корректность вычислительной задачи

1. Постановка вычислительной задачи.

Под вычислительной задачей будем понимать одну из трех задач, которые возникают при анализе математических моделей: прямую задачу, обратную задачу или задачу идентификации (см. § 1.2). Слово "вычислительная" подчеркивает, что основные усилия будут направлены на то, чтобы найти (вычислить) ее решение.

Будем считать, что постановка задачи включает в себя задание множества допустимых входных данных X и множества возможных решений Цель вычислительной задачи состоит в нахождении решения по заданному входному данному Для простоты понимания достаточно ограничиться рассмотрением задач, в которых входные данные и решение могут быть только числами, наборами чисел (векторами, матрицами, последовательностями) и функциями. Предположим, что для оценки величин погрешностей приближенных входных данных х и приближенного решения у введены абсолютные и относительные погрешности а также их границы . Определения этих величин в случае, когда х и у — числа, были даны в § 2.2. В тех случаях, когда входные данные или решение не являются числами, эти характеристики погрешностей также можно ввести естественным образом; мы будем это делать по мере необходимости.

2. Определение корректности задачи.

Анализ важнейших требований, предъявляемых к различным прикладным задачам, приводит к понятию корректности математической задачи, которое было впервые сформулировано Ж. Адамаром и развито затем И. Г. Петровским.

Вычислительная задача называется корректной (по Адамару — Петровскому), если выполнены следующие три требования: 1) ее решение У существует при любых входных данных это решение единственно; 3) решение устойчиво по отношению к малым возмущениям входных данных. В том случае, когда хотя бы одно из этих требований не выполнено, задача называется некорректной.

Существование решения вычислительной задачи — естественное требование к ней. Отсутствие решения может свидетельствовать, например, о непригодности принятой математической модели либо о неправильной постановке задачи. Иногда отсутствие решения является следствием неправильного выбора множества допустимых входных данных X или множества возможных решений У.

Пример 3.1. Рассмотрим задачу о решении квадратного уравнения

Старший коэффициент а считается равным единице; этого всегда можно добиться делением уравнения на а. Если считать входным данным пару коэффициентов с и искать решение в множестве вещественных чисел, то существование решений

будет гарантировано только в том случае, если ограничить множество входных данных коэффициентами, удовлетворяющими условию Если же расширить множество возможных решений и считать, что корни (3.2) могут принимать комплексные значения, то задача будет иметь решение при любых

Так как математическая модель не является абсолютно точным отражением реальной ситуации, то даже в случае, когда исходная проблема заведомо имеет решение, соответствующая вычислительная задача может и не оказаться разрешимой. Конечно, такая ситуация говорит о серьезном дефекте в постановке задачи. В некоторых случаях отсутствие решения математической задачи приводит к пониманию

того, что первоначально сформулированная проблема неразрешима и нуждается в серьезной корректировке.

3. Единственность.

Для некоторых вычислительных задач единственность является естественным свойством; для других же решение может и не быть единственным. Например, квадратное уравнение (3.1) имеет два корня (3.2). Как правило, если задача имеет реальное содержание, то неединственность может быть ликвидирована введением дополнительных ограничений на решение (т.е. сужением множества У). В некоторых случаях проблема снимается тем, что признается целесообразным найти набор всех решений, отвечающих входным данным х, и тогда за решение у принимается этот набор. Например, для уравнения (3.1) решением можно назвать пару

Неединственность решения вычислительной задачи — весьма неприятное свойство. Оно может быть проявлением неправильной постановки исходной прикладной проблемы, неоднозначности ее решения или сигналом о неудачном выборе математической модели.

4. Устойчивость решения.

Решение у вычислительной задачи называется устойчивым по входным данным х, если оно зависит от входных данных непрерывным образом. Это означает, что для любого существует такое, что всякому исходному данному х, удовлетворяющему условию отвечает приближенное решение у, для которого Таким образом, для устойчивой вычислительной задачи ее решение теоретически можно найти со сколь угодно высокой точностью если обеспечена достаточно высокая точность 6 входных данных. Схематически ситуация изображена на рис. 3.1. Множества тех х и у, для которых изображены как окрестности точек имеющие радиусы Требование увеличить точность решения приводит автоматически к повышению требований к точности данных; соответствующие окрестности на рис. 3.1 отмечены пунктиром.

Рис. 3.1

Неустойчивость решения у означает, что существует такое что какое бы малое ни было задано, найдутся такие исходные данные х, что но

Приведем простейшие примеры устойчивых и неустойчивых задач.

Пример 3.2. Задача вычисления корней квадратного уравнения (3.1) устойчива, так как корни (3.2) являются непрерывными функциями коэффициентов .

Пример 3.3. Задача о вычислении ранга матрицы в общем случае неустойчива. В самом деле, для матрицы ранг равен 1, поскольку и существует ненулевой элемент Однако сколь угодно малое возмущение коэффициента на величину приводит к матрице для которой следовательно, ранг равен 2.

Пример 3.4. Покажем, что задача вычисления определенного интеграла устойчива.

Пусть приближенно заданная интегрируемая функция и Определим абсолютную погрешность функции с помощью равенства в котором знак можно заменить на если непрерывны. Так как

то для любого неравенство будет выполнено, если потребовать вьшолнение условия .

Пример 3.5. Покажем, что задача вычисления производной и приближенно заданной функции является неустойчивой.

Пусть приближенно заданная на отрезке непрерывно дифференцируемая функция Определим абсолютные погрешности с помощью равенств

Возьмем, например где Тогда в то время как Таким образом, сколь угодно малой погрешности задания функции может отвечать сколь угодно большая погрешность производной

Различие в ситуациях, возникающих при приближенном задании функции в задачах интегрирования и дифференцирования, отражено на рис. 3.2. Видно, что уменьшение величины влечет за собой уменьшение величина не превышает заштрихованной площади), в то время как производные могут отличаться сколь угодно сильно.

Рис. 3.2

Одна и та же задача может оказаться как устойчивой, так и неустойчивой в зависимости от выбора способа вычисления абсолютных погрешностей . В реальных задачах этот выбор определяется тем, в каком смысле должно быть близко приближенное решение к точному и малость какой из мер погрешности входных данных можно гарантировать.

Пример 3.6. Рассмотрим задачу о вычислении суммы сходящегося ряда с приближенно заданными слагаемыми Если определяется таким образом, что гарантируется малость для всех к, то для последовательности естественно положить такой постановке задача неустойчива. Чтобы убедиться в этом, достаточно положить (где ) для для Тогда для суммы ряда имеем Следовательно, как бы ни была мала величина абсолютную погрешность суммы ряда с помощью выбора можно сделать сколь угодно большой. Если же положить

для всех к, то сумма ряда вообще станет бесконечной, т.е. ряд станет расходящимся.

В то же время, если можно задавать так, чтобы оказалась малой величина то и в такой постановке задача устойчива.

5. Относительная устойчивость решения.

Часто требование малости абсолютной погрешности является неоправданным или трудно проверяемым. В таких случаях полезно рассмотреть относительную устойчивость решения, определение которой отличается от данного выше определения устойчивости (абсолютной устойчивости) только тем, что заменяются на соответственно.

Пример 3.7. Вернемся к задаче вычисления суммы ряда а из примера 3.6. Предположим, что для всех k. Часто можно гарантировать малость величины Тогда и поэтому Таким образом,

Следовательно, задача вычисления суммы сходящегося ряда относительно устойчива, если он сходится абсолютно (т.е. сходится ряд же ряд сходится только условно, т.е. то задача не является относительно устойчивой.

Замечание. Так как для решения вычислительных задач используют точность которых определяется разрядностью мантиссы или эквивалентной величиной границы относительной погрешности округления ем, то представляется более естественным исследование относительной устойчивости.

6. О некорректных задачах.

Длительное время считалось, что некорректные задачи, решения которых неустойчивы, не имеют физического смысла и не представляют ценности для приложений. Однако это мнение оказалось ошибочным. Как выяснилось, многие важные прикладные задачи некорректны. Не вызывает, например, сомнения

практическая важность решения некорректных задач дифференцирования и суммирования ряда (см. примеры 3.5, 3.6). К некорректным задачам относятся также обратные задачи геофизики, астрофизики, спектрографии, многие задачи распознавания образов, задачи синтеза и ряд других прикладных задач.

К настоящему времени разработана теория решения многих классов некорректных задач. Важная роль в создании методов решения таких задач принадлежит российским математикам, в первую очередь А. Н. Тихонову. Эти методы (методы регуляризации) довольно сложны и выходят за рамки данной книги. Для первого знакомства с ними можно рекомендовать учебное пособие [79].