Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 15.5. Метод пристрелкиМетод пристрелки (он называется также методом стрельбы или баллистическим методом) позволяет свести решение краевой задачи к решению системы нелинейных уравнений относительно так называемых пристрелочных параметров, а также к решению (вообще говоря, многократному) задачи Коши. Сначала рассмотрим этот метод на примере решения следующей краевой задачи для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:
Наряду с этой задачей рассмотрим задачу Коши
Решение задачи Таким образом, для того чтобы найти решение краевой задачи нужно решить нелинейное уравнение
где вычисление решения задачи Коши Уравнение (15.98) можно решать, используя один из известных методов решения нелинейных уравнений. Довольно часто успешным оказывается применение метода бисекции, метода секущих или метода Ньютона (см. гл. 4). Замечание. Применение метода Ньютона
сопряжено с необходимостью вычисления значений не только функции Дифференцируя по параметру а уравнения (15.95), (15-96) и начальные условия (15.97), замечаем, что функции и
Решая теперь относительно функций Пример 15.2. Применим метод пристрелки к решению краевой задачи
Положим
Для решения уравнения
Возьмем Таблица 15.2 (см. скан) Заметим, что в общем случае вычисление значения
Поэтому можно воспользоваться явной формулой
В результате применения метода пристрелки для задачи (15.103), (15.104) получаем решение (15.108), где Замечание. Своим названием метод пристрелки обязан очевидной аналогии между процессом его реализации при решении краевой задачи и процессом пристрелки при артиллерийской стрельбе по цели. После выбора очередного значения Использование для решения уравнения (15.98) метода бисекции еще более усиливает эту аналогию. Здесь результат того "выстрела", при котором Покажем теперь схематично, как применяется метод пристрелки для решения общей двухточечной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений первого порядка
Запишем эту задачу в векторной форме:
Рассмотрим также задачу Коши
Здесь
где Практическая реализация метода пристрелки при большом числе уравнений (часто уже при нелинейных уравнений (15.113) является весьма трудной. Серьезные затруднения могут возникнуть здесь уже на этапе выбора хорошего начального приближения Метод пристрелки достаточно эффективен в том случае, когда задача Коши (15.111), (15.112) является хорошо обусловленной. Однако если задача Коши плохо обусловлена, то метод оказывается практически непригодным. Дело в том, что при решении системы (15.113) значения пристрелочных параметров а обязательно будут найдены с некоторой погрешностью, (относительная величина которой не может иметь порядок, меньший чем машинное эпсилон ем). Соответствующее решение задачи Коши (в случае плохой обусловленности) в результате этой погрешности окажется полностью искаженным. Однако даже в том идеализированном случае, когда вектор а найден абсолютно точно, при численном решении задачи (15.111), (15.112) на ЭВМ в приближенное решение будут внесены ошибки, которые сделают его непригодным. Для некоторых систем эти ошибки могут приводить даже к аварийному останову вычислительного процесса. Пример 15.3. Рассмотрим краевую задачу
Как нетрудно проверить, ее решением является пара функций
где
Попробуем решить задачу (15.114), (15.115) методом пристрелки, используя
Ее решением являются функции
Уравнение
Возьмем
Подстановка в формулы (15.116), (15.117) значения
Здесь
Тогда
Наличие в погрешности компоненты, пропорциональной
|
1 |
Оглавление
|