§ 15.5. Метод пристрелки

Метод пристрелки (он называется также методом стрельбы или баллистическим методом) позволяет свести решение краевой задачи к решению системы нелинейных уравнений относительно так называемых пристрелочных параметров, а также к решению (вообще говоря, многократному) задачи Коши.

Сначала рассмотрим этот метод на примере решения следующей краевой задачи для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Наряду с этой задачей рассмотрим задачу Коши

Решение задачи т. е. пара функций зависит не только от переменной z, но и от пристрелочного параметра а. Подобрав значение параметра а, при котором получим решение задачи Коши, совпадающее с решением краевой задачи

Таким образом, для того чтобы найти решение краевой задачи нужно решить нелинейное уравнение

где Отметим, что функция не задана какой-либо явной формулой и вычисление каждого ее значения предполагает

вычисление решения задачи Коши Как правило, для решения задачи Коши приходится использовать тот или иной численный метод.

Уравнение (15.98) можно решать, используя один из известных методов решения нелинейных уравнений. Довольно часто успешным оказывается применение метода бисекции, метода секущих или метода Ньютона (см. гл. 4).

Замечание. Применение метода Ньютона

сопряжено с необходимостью вычисления значений не только функции но и ее производной Покажем, как можно вычислить в рассматриваемом случае.

Дифференцируя по параметру а уравнения (15.95), (15-96) и начальные условия (15.97), замечаем, что функции и удовлетворяют следующим уравнениям и начальным условиям:

Решая теперь относительно функций задачу Коши для системы уравнений (15.95), (15.96), (15.100), (15.101) с начальными условиями (15.97), (15.102), можно определить

Пример 15.2. Применим метод пристрелки к решению краевой задачи

Положим где решение задачи Коши

Для решения уравнения воспользуемся методом секущих:

Возьмем и будем вести итерации по формуле (15.107) до тех пор, пока не выполнится условие Результаты вычислений приведены в табл. 15.2.

Таблица 15.2 (см. скан)

Заметим, что в общем случае вычисление значения производится с помощью численного решения задачи Коши. Однако в рассматриваемом случае задача (15.105), (15.106) допускает аналитическое решение

Поэтому можно воспользоваться явной формулой

В результате применения метода пристрелки для задачи (15.103), (15.104) получаем решение (15.108), где и 0.881612.

Замечание. Своим названием метод пристрелки обязан очевидной аналогии между процессом его реализации при решении краевой задачи и процессом пристрелки при артиллерийской стрельбе по цели. После выбора очередного значения пристрелочного параметра (выбора угла стрельбы) решается задача Коши (производится "выстрел"). Если совпадает с с заданной точностью, то "цель считается пораженной", а краевая задача — решенной. В противном случае производится корректировка значения пристрелочного параметра и процесс продолжается дальше.

Использование для решения уравнения (15.98) метода бисекции еще более усиливает эту аналогию. Здесь результат того "выстрела", при котором может восприниматься как "перелет снаряда", а того, при котором как "недолет".

Покажем теперь схематично, как применяется метод пристрелки для решения общей двухточечной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений первого порядка

Запишем эту задачу в векторной форме:

Рассмотрим также задачу Коши

Здесь вектор пристрелочных параметров. Решив задачу Коши (15.111), (15.112) при фиксированном значении вектора а, получим решение Далее взяв и и подставив эти значения в систему (15.110), приходим к системе уравнений

где Наконец, решив систему (15.113), получаем набор значений пристрелочных параметров, при которых решение задачи Коши (15.111), (15.112) совпадает с решением краевой задачи (15.109), (15.110).

Практическая реализация метода пристрелки при большом числе уравнений (часто уже при оказывается довольно сложным делом. Действительно, даже сама по себе проблема решения системы

нелинейных уравнений (15.113) является весьма трудной. Серьезные затруднения могут возникнуть здесь уже на этапе выбора хорошего начального приближения Необходимо также учесть, что каждое вычисление вектор-функции является здесь весьма трудоемкой операцией: оно предполагает (численное) решение задачи Коши (15.111), (15.112).

Метод пристрелки достаточно эффективен в том случае, когда задача Коши (15.111), (15.112) является хорошо обусловленной. Однако если задача Коши плохо обусловлена, то метод оказывается практически непригодным. Дело в том, что при решении системы (15.113) значения пристрелочных параметров а обязательно будут найдены с некоторой погрешностью, (относительная величина которой не может иметь порядок, меньший чем машинное эпсилон ем). Соответствующее решение задачи Коши (в случае плохой обусловленности) в результате этой погрешности окажется полностью искаженным. Однако даже в том идеализированном случае, когда вектор а найден абсолютно точно, при численном решении задачи (15.111), (15.112) на ЭВМ в приближенное решение будут внесены ошибки, которые сделают его непригодным. Для некоторых систем эти ошибки могут приводить даже к аварийному останову вычислительного процесса.

Пример 15.3. Рассмотрим краевую задачу

Как нетрудно проверить, ее решением является пара функций

где

Попробуем решить задачу (15.114), (15.115) методом пристрелки, используя -разрядную десятичную ЭВМ. Соответствующая задача Коши имеет вид

Ее решением являются функции

Уравнение (где для определения пристрелочного параметра а является линейным. Поэтому для определения а достаточно сделать одну итерацию метода секущих:

Возьмем Тогда вычисления по формуле (15.117) на -разрядной десятичной ЭВМ дают значения, . В соответствии с формулой (15.118) получается следующее значение пристрелочного параметра:

Подстановка в формулы (15.116), (15.117) значения приводит к приближенному решению

Здесь

Тогда Это означает, что

Наличие в погрешности компоненты, пропорциональной приводит к тому, что при погрешности решения достигают следующих величин: и .