4. Арифметические операции над числами с плавающей точкой.

Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления чрезвычайно просты и легко реализуются на ЭВМ.

Однако в силу ограниченной разрядности мантиссы операции сложения, вычитания, умножения и деления над представимыми в ЭВМ вещественными числами не могут быть реализованы точно. Дело в том, что арифметические операции над числами, мантиссы которых содержат разрядов, приводят, как правило, к результатам, содержащим более разрядов. Округление результата до t разрядов и служит главным источником погрешности. Для того чтобы отличать машинные арифметические операции от идеальных математических операций будем обозначать их через Игнорируя несущественные детали, можно считать, что результат машинной арифметической операции совпадает с результатом точного выполнения той же операции с погрешностью, приближенно равной погрешности округления. Таким образом,

Конечно, в некоторых ситуациях округление может отсутствовать. Например, полезно знать, что умножение и деление числа на целую степень двойки выполняется на ЭВМ точно, так как в этом случае мантисса не меняется.

Пример 2.17. Рассмотрим гипотетическую ЭВМ, в которой числа представляются всего лишь с 6 двоичными разрядами мантиссы, а округление производится по дополнению. Пусть на такой ЭВМ вычисляются сумма и

произведение двух представимых на ней чисел Производим вычисления в двоичной арифметике:

После округления до 6 значащих цифр получим а Очевидно, что эти результаты отличаются от точных значений

Заметим, что машинные арифметические операции обладают иными свойствами, нежели обычные математические операции. Например, не выполняется известное правило арифметики "от перемены мест слагаемых сумма не меняется". Покажем это на примере.

Пример 2.18. Пусть вычисления производятся на ЭВМ из примера 2.17, причем Тогда а и после округления имеем Далее, и после округления получим Сложение в ином порядке дает с Таким образом,