Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4.7. Модификации метода НьютонаВ предыдущем параграфе в качестве недостатка метода Ньютона была отмечена необходимость вычисления значения производной 1. Упрощенный метод Ньютона.Если производная
Геометрическая иллюстрация метода приведена на рис. 4.11. В точке
Рис. 4.11. Упрощение вычислений по сравнению с методом Ньютона достигается здесь ценой резкого падения скорости сходимости. Сходимость этого метода является уже не квадратичной, а линейной. Метод (4.46) можно рассматривать как метод простой итерации с итерационной функцией 2. Метод ложного положения.В основе этой и следующих двух модификаций метода Ньютона лежит приближенное равенство
Оно верно при условии Пусть с — фиксированная точка, расположенная в окрестности простого корня х. Заменим в расчетной формуле метода Ньютона (4.37) производную
Геометрическая иллюстрация метода приведена на рис. 4.12. Очередное приближение
Рис. 4.12
Рис. 4.13 Метод (4.48) обладает только линейной сходимостью. Его можно рассматривать как метод простой итерации с итерационной функцией 3. Метод секущих.Замена в формуле метода Ньютона производной
Заметим, что этот метод двухшаговый, так как для нахождения очередного приближения На рис. 4.13 приведена геометрическая иллюстрация метода. Очередное приближение Примечательно то, что эта модификация метода Ньютона сохраняет свойство сверхлинейной сходимости, если вычисляется простой корень х. Точнее, верно следующее утверждение. Теорема 4.9. Пусть
Так как одна итерация метода секущих требует только одного нового вычисления значения функции К сожалению, метод обладает, вообще говоря, только локальной сходимостью. Он требует выбора двух близких к
Рис. 4.14. 4. Метод Стеффопсена.Итерационная формула метода Стеффенсена имеет вид
Можно считать, что она получена в результате замены производной Метод Стеффенсена интересен тем, что он является одношаговым, не требует вычисления производной Геометрическая иллюстрация метода Стеффенсена приведена на рис. 4.15. Приближение
Рис. 4.15 Несмотря на свойство квадратичной сходимости, метод Стеффенсена уступает методу секущих, поскольку требует большей вычислительной работы для достижения той же точности 5. Уточнение метода Ньютона для случая кратного корня.В принципе для вычисления корня уравнения Для того чтобы сохранить квадратичную скорость сходимости, метод Ньютона нужно модифицировать следующим образом:
Можно показать (это достигается раскрытием неопределенностей с помощью формулы Тейлора), что при таком выборе итерационной функции На рис. 4.16, а, б проиллюстрировано поведение последовательных приближений стандартного метода Ньютона и его модификации (4.51) для случая отыскания корня кратности
Рис. 4.16 Для метода (4.51) значение Пример 4.10. Применим методы, рассмотренные в данной главе, для вычисления положительного корня уравнения Результаты вычислений приведены в табл. 4.5-4.8. В них для каждого приближения дается число верных знаков и требуемое число вычислений значений функции Отметим, что выбор начальных приближений был довольно случайным (хотя и разумным). Тем не менее лучший результат показал метод секущих. Решение с 10 верными знаками мантиссы было получено после 5 итераций и для этого потребовалось лишь 6 вычислений функции. Хотя метод Ньютона (см. пример 4.8) при том же начальном приближении Пример 4.11. Применим метод Ньютона и его модификацию (4.51) для вычисления корня Как видно из табл. 4.9, погрешность метода Ньютона убывает довольно медленно и соответствует примерно геометрической прогрессии со знаменателем Таблица 4.5 (см. скан) Упрощенный метод Ньютона; Таблица 4.6 (см. скан) Метод ложного положения; Таблица 4.7 (см. скан) Метод секущих; Таблица 4.8 (см. скан) Метод Стеффенсена; Таблица 4.9 (см. скан) Метод Ньютона Таблица 4.10 (см. скан) Уточнение метода Ньютона для случая 6. Чувствительность к погрешностям.Рассмотренные в этом параграфе одношаговые методы можно интерпретировать как различные варианты метода простой итерации. Поэтому исследование их чувствительности к погрешностям сводится (аналогично тому, как это было сделано в предыдущем параграфе для метода Ньютона) к использованию соответствующих результатов § 4.5. Так, например, можно диться в хорошей обусловленности модифицированного метода Ньютона и метода ложного положения. Высокая скорость сходимости метода секущих делает его привлекательным для применения. Однако вызывает беспокойство тот факт, что в формулу (4.49) входит величина Тем не менее при грамотном использовании метод секущих дает возможность получить почти столько же верных значащих цифр корня I, сколько вообще позволяет обусловленность задачи (см. § 4.2). Возможная (но не обязательная) потеря точности составляет 1—2 верные цифры. Необходимо лишь прервать итерационный процесс в тот момент, когда приближения окажутся в опасной близости к интервалу неопределенности. Один из способов заметить этот момент состоит в использовании правила Гарвика (см. § 4.2). Отметим, что при попадании очередного приближения в малую окрестность решения теряет устойчивость и метод Стеффенсена.
|
1 |
Оглавление
|