Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙВычисление собственных значений и собственных векторов — одна из тех сложных вычислительных задач, с которой часто приходится сталкиваться инженеру или научному работнику, занимающемуся конструированием или анализом больших технических систем. В электрических и механических системах собственные числа отвечают собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют соответствующие формы (моды) колебаний. Знание собственных чисел позволяет анализировать многие процессы, исследовать и управлять ими. Оценка величин критических нагрузок при расчете строительных конструкций также основана на информации о собственных значениях и собственных векторах матриц. Собственные числа и собственные векторы являются важнейшими характеристиками, отражающими существенные стороны линейных моделей. Поэтому, конечно, дальнейшее расширение процесса математического моделирования приведет к тому, что владение методами решения проблемы собственных значений станет неотъемлемым элементом инженерного образования. § 8.1. Постановка задачи. Некоторые вспомогательные сведения1. Постановка задачи.В данной главе мы ограничимся рассмотрением методов решения проблемы собственных значений только для квадратных матриц А порядка Напомним, что число А называется собственным значением (собственным числом) матрицы А, если существует ненулевой вектор х, удовлетворяющий уравнению
и называемый собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному значению А. Запишем систему (8.1) в виде
Эта однородная система имеет ненулевое решение х тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю, т.е.
Раскрытие этого уравнения приводит к так называемому характеристическому (или вековому) уравнению
представляющему собой алгебраическое уравнение степени Известно, что характеристическое уравнение имеет в области комплексных чисел ровно Если матрица А симметричная, то все ее собственные значения являются вещественными числами. Для несимметричных матриц возможно наличие комплексных собственных значений вида В ряде задач механики, физики, химии, техники, биологии требуется получение всех собственных значений некоторых матриц, а иногда и всех собственных векторов. В такой постановке задачу называют полной проблемой собственных значений. Довольно часто определению подлежат не все собственные значения и собственные векторы, а лишь небольшая их часть. Например, существенный интерес во многих приложениях представляют максимальное или минимальное по модулю собственное значение или же собственное значение, наиболее близко расположенное к заданному значению. Такие задачи являются примерами частичных проблем собственных значений. Может показаться, что достаточно ограничиться только рассмотрением методов решения полной проблемы собственных значений, так как все остальные проблемы являются ее частными случаями. Однако такой подход неоправдан, поскольку ориентирует на работу по получению значительного объема заведомо ненужной информации и требует существенно большего объема вычислений, чем это необходимо в действительности. Поэтому для решения различных частичных проблем собственных значений разработан ряд специальных методов. Пример 8.1. Найдем собственные числа матрицы
Запишем характеристический многочлен
Используя один из итерационных методов решения нелинейных уравнений (например, метод Ньютона), нетрудно определить один из корней уравнения Таким образом, матрица А имеет одно вещественное собственное значение Численные методы решения проблемы собственных значений, использовавшиеся до конца 40-х годов, сводились в конечном счете к решению характеристического уравнения (8.3). Этой классической схеме следовали и мы в примере 8.1. При реализации такого подхода основные усилия были направлены на разработку эффективных методов быстрого вычисления коэффициентов характеристического уравнения. Методы такого класса получили названия прямых; к ним относятся пользовавшиеся популярностью методы Крылова, Данилевского, Леверье и др. Однако указанный подход становится неудовлетворительным, если речь идет о вычислении собственных значений матриц, имеющих порядок Одна из причин состоит в том, что хотя задачи (8.1) и (8.3) формально эквивалентны, они имеют разную обусловленность. Так как корни многочлена С появлением ЭВМ широкое распространение получили итерационные методы решения проблемы собственных значений, не использующие вычисление характеристического многочлена. К началу 60-х годов эти методы практически полностью вытеснили прямые методы из практики вычислений. 2. Преобразование подобия.Говорят, что матрицы Важно то, что и полученная в результате преобразования подобия матрица имеет тот же набор собственных чисел. В самом деле, рассмотрим характеристический многочлен для матрицы
Таким образом, характеристические многочлены, а следовательно, и собственные числа матриц Если бы матрицу А с помощью преобразования подобия или последовательности таких преобразований удалось привести к верхнему треугольному виду, то проблему вычисления собственных значений можно было бы считать решенной. Дело в том, что у верхней треугольной матрицы
собственными числами являются элементы главной диагонали Оказывается, что преобразованием подобия матрицу А можно привести к еще более простому виду, чем (8.5). Справедлива (см. [23]) следующая теорема. Теорема 8.1. Любую квадратную матрицу А с помощью преобразования подобия можно привести к следующему виду:
Здесь Матрица (8.6) называется жордановой формой матрицы А. 3. Матрицы простой структуры.В этой главе особое внимание будет уделено матрицам простой структуры, т.е. матрицам, которые с помощью преобразования подобия можно привести к диагональному виду:
Запишем равенство (8.7) в виде Теорема 8.2. Матрица А является матрицей простой структуры тогда и только тогда, когда она имеет Указанные в теореме собственные векторы
Какие же матрицы заведомо могут быть приведены к диагональному виду? Следующие два предложения частично отвечают на этот вопрос. Теорема 8.3. Если все собственные значения матрицы А различны, то она является матрицей простой структуры. Теорема 8.4. Если А — вещественная симметричная матрица, то она подобна диагональной матрице, причем матрица подобия 4. Локализация собственных значений.С помощью так называемых теорем локализации иногда удается получить грубые оценки расположения собственных чисел. Изложим самый известный из этих результатов — теорему Гершгорина. Пусть Теорема 8.5 (теорема Гершгорина). Все собственные значения матрицы А лежат в объединении кругов Возьмем произвольное собственное значение А матрицы А и соответствующий собственный вектор
Из этого равенства с учетом оценки
Таким образом, Пример 8.2. Для матрицы
круги Гершгорина изображены на рис. 8.1. Здесь
Рис. 8.1 Следующий результат является полезным дополнением к теореме Гершгорина. Теорема 8.6. Если к кругов Гершгорина образуют замкнутую область Следствие. Если какой-либо круг Гершгорина изолирован, то он содержит ровно одно собственное значение матрицы А. Пример 8.3. Для матрицы А из примера 8.2 в объединении кругов 5. Отношение Рэлея.При вычислении собственных чисел и собственных векторов симметричных матриц важную роль играет функция
называемая отношением Рэлея. Следующее предложение частично объясняет значение этой величины. Теорема 8.7. Пусть А — симметричная матрица. 1°) минимальное и максимальное собственные значения матрицы А вычисляются по формулам
2°) вектор При построении методов решения проблемы собственных значений существенно используется то обстоятельство, что если 6. Обусловленность задачи вычисления собственных значений и собственных векторов.Пусть Теорема 8.8. Пусть
Теорема 8.8 означает, что задача вычисления собственных значений симметричных матриц очень хорошо обусловлена. Следовательно, в этом случае собственные числа надежно определяются заданием элементов матрицы. К сожалению, для несимметричных матриц дело обстоит совсем иначе. Хотя задача вычисления собственных значений и в этом случае является устойчивой, для многих несимметричных матриц собственные значения чрезвычайно чувствительны к погрешностям задания коэффициентов. Пример 8.4. Приведем принадлежащий Дж. Х. Уилкинсону [83] пример матрицы, очень плохо обуословленной по отношению к проблеме собственных значений. Собственными числами верхней треугольной матрицы 20-го порядка
являются числа
При Отметим, что число обусловленности Теорема 8.9. Пусть из собственных значений матрицы А, и пусть Пусть
Задача вычисления собственных векторов симметричной матрицы хорошо обусловлена, если собственные значения хорошо отделены друг от друга. В подтверждение сказанного приведем следующий результат. Теорема 8.10. Пусть
Здесь В случае, когда матрица А несимметрична, собственные векторы могут оказаться очень плохо обусловленными. Замечание. Подавляющее большинство встречающихся на практике матриц являются матрицами простой структуры. Это обстоятельство, а также ббльшая простота анализа методов вычислений и формулировок соответствующих результатов позволяют нам в основном остановиться на проблеме собственных значений для матриц простой структуры.
|
1 |
Оглавление
|