§ 13.5. Вычисление интегралов в нерегулярных случаях

Нередко приходится вычислять интегралы

от функций, имеющих те или иные особенности. Например, сама функция (или ее производная некоторого порядка) имеет участки резкого изменения, точки разрыва или является неограниченной. Такие функции плохо аппроксимируются многочленами и поэтому для вычисления соответствующих интегралов может оказаться неэффективным непосредственное применение стандартных квадратурных формул, рассчитанных на возможность кусочно-многочленной аппроксимации функции Случай, когда в интеграле (13.44) промежуток интегрирования бесконечен, также требует специального рассмотрения.

Пример 13.9. Функция имеет особенность в точке Попробуем применить для вычисления интеграла

формулу прямоугольников с постоянным шагом:

Результаты вычислений для нескольких значений шага А приведены в табл. 13.3. Заметим, что значения сходятся к I очень медленно. Теоретический анализ погрешности показывает, что она убывает пропорционально лишь а не как в регулярном случае.

Таблица 13.3 (см. скан)

Укажем на некоторые подходы к вычислению интегралов в нерегулярных случаях, позволяющие учесть особенности поведения функции и благодаря этому значительно сократить затраты машинного времени или достичь большей точности.

1. Разбиение промежутка интегрирования на части.

Пусть подынтегральная функция является кусочно-гладкой и известные точки разрыва функции либо ее производных. В этом случае имеет смысл представить интеграл (13.44) в виде суммы:

Вычисление каждого из входящих в сумму (13.47) интегралов представляет собой стандартную задачу, так как на каждом из частичных отрезков подынтегральная функция является гладкой.

Разбиение промежутка интегрирования на части может оказаться полезным приемом и в других случаях, например тогда, когда имеет смысл на разных частях применять различные квадратурные формулы. Другой пример дает стандартный прием вычисления несобственных интегралов вида Если требуется вычислить такой интеграл с точностью то его представляют в виде суммы:

Затем благодаря выбору достаточно большого добиваются выполнения неравенства вычисляют интеграл с точностью

2. Выделение веса.

В некоторых случаях подынтегральная функция допускает разложение на два сомножителя: где функция является достаточно простой и имеет те же особенности, что и а гладкая функция. Тогда имеет смысл рассматривать интеграл (13.44) в виде

Здесь функция называется весовой функцией (или весом). При построении численных методов вычисления интеграла (13.48) весовая

функция считается фиксированной. В то же время может быть произвольной достаточно гладкой функцией.

Примерами весовых функций могут служить постоянный вес весовые функции Якоби Лаггера и Эрмита соответствующие интегралам вида

Методы приближенного вычисления интегралов, рассмотренные в предыдущих параграфах, применимы и к задаче вычисления интегралов с весом.

Пусть интерполяционные многочлены (13.17). Приближенная замена интеграла (13.48) суммой:

приводит к следующей квадратурной формуле интерполяционного типа:

Здесь коэффициенты а у вычисляются по формуле

Если функция имеет на отрезке непрерывную производную порядка то для погрешности формулы (13.49) верна оценка

Пример 13.10. Выведем аналог формулы прямоугольников с постоянным шагом для вычисления интеграла

Заменяя функцию на элементарном отрезке постоянной и учитывая, что

получим следующую квадратурную формулу:

Пример 13-11. Применим квадратурную формулу (13.51) для вычисления интеграла (13.45) при тех же значениях шага, что и в примере 13.9. В рассматриваемом случае формула (13.51) принимает вид

Полученные с ее помощью результаты приведены в табл. 13.4. Сравнение с результатами примера 13.9 показывает, что для вычисления интеграла (13.45) формула (13.52) имеет безусловное преимущество перед формулой прямоугольников (13.46).

Таблица 13.4 (см. скан)

Для вычисления интегралов (13.48) применяют и квадратурные формулы Гаусса точные для многочленов наиболее высокой степени. Они строятся аналогично тому, как было сделано в случае постоянного веса (см. § 13.4).

Пример 13.12. Для вычисления интеграла (13.50) построим квадратурную формулу Гаусса с одним узлом:

Потребуем, чтобы формула (13.53) была точна для многочленов первой степени. Это эквивалентно выполнению равенств Таким образом и формула (13.53) принимает вид

Хотя формула (13.54) и кажется примитивной, применяя ее для вычисления интеграла (13.45), получаем значение I и 1.789679, абсолютная погрешность которого равна 0.1 и практически совпадает с погрешностью значения, найденного в примере 13.9 по формуле прямоугольников с шагом Замечательно то, что формула Гаусса (13.54) достигает точности при использовании только одного вычисления значения функции . В то же время формула (13.46) для достижения той же точности требует вычисления 40 значений функции.

3. Формула Эрмита.

Для вычисления интегралов вида т.е. в случае используют квадратурную формулу Гаусса

называемую формулой Эрмита. Узлами этой формулы являются нули многочлена Чебышева т. е. числа

4. Интегрирование быстро осциллирующих функций.

В задачах радиотехники часто встречается проблема вычисления интегралов вида

Здесь некоторая достаточно гладкая функция, мнимая единица. Функции являются быстро меняющимися и имеют на отрезке порядка нулей. попытаться вычислить интеграл (13.55) с помощью стандартных квадратурных формул, то для обеспечения приемлемой точности на каждый "полупериод" колебаний подынтегральной функции потребуется поместить хотя бы несколько (например, порядка десяти) точек. Так как на отрезок приходится примерно таких "полупериодов", то необходимо по меньшей мере порядка узлов интегрирования. Следовательно, стандартный подход к вычислению интегралов вида (13.55) потребует слишком больших затрат машинного времени.

Для существенного уменьшения объема вычислений в равенстве (13.55) полезно рассматривать функцию как весовую. Тогда кусочно-полиномиальная интерполяция функции приводит к квадратурным формулам интерполяционного типа, которые принято называть формулами Филона.

Выведем одну из таких формул, основанную на интерполяции функции на каждом из элементарных отрезков линейной функцией и являющуюся аналогом составной квадратурной формулы трапеций. Положим

Вычислив интеграл получаем формулу

Здесь

В результате приходим к составной формуле вида

5. Аддитивное выделение особенности.

Иногда подынтегральную функцию удается представить в виде суммы где функция содержит особенность, но интегрируется аналитически, а функция является достаточно гладкой. Тогда интеграл от функции представляют в виде суммы двух интегралов:

Первый из них вычисляется аналитически, а значение второго можно найти с помощью той или иной квадратурной формулы.

Пример 13.13. Указанный прием можно использовать для вычисления интеграла (13.45). Представим интеграл в виде

Интеграл вычисляется аналитически: то же время функция трижды непрерывно дифференцируема на отрезке [0, 1].

Поэтому интеграл можно вычислить по формуле прямоугольников. В результате приходим к формуле

Найденные по ней приближенные значения интеграла приведены в табл. 13.5:

Таблица 13.5 (см. скан)

Конечно, отмеченные приемы представляют лишь небольшую часть тех средств, которые применяются при вычислении интегралов в нерегулярных случаях. Иногда, например, оказывается полезной замена

переменных приводящая интеграл к виду а