Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 10. МЕТОДЫ МНОГОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИОдной из наиболее часто встречающихся в инженерных расчетах и научных исследованиях вычислительных задач является задача минимизации функции В данной главе рассматриваются методы решения задачи безусловной минимизации. Многие из них являются основой для перехода к более сложным методам решения задач условной минимизации. § 10.1. Задача безусловной минимизации функции многих переменных1. Постановка задачи. Определения.Пусть Точка
Подавляющее большинство методов решения задачи безусловной минимизации в действительности являются методами поиска точки локального минимума. За исключением весьма редких случаев для нахождения точки глобального минимума, вообще говоря, не остается ничего иного, как найти все точки локального минимума и, сравнивая вычисленные в этих точках значения функции 2. Поверхность уровня, градиент и матрица Гессе. Необходимые и достаточные условия локального минимума.Напомним некоторые определения и факты, известные из стандартного курса теории функций многих переменных.
Рис. 10.1 Множество точек, для которых целевая функция принимает постоянное значение Для дифференцируемой функции определен вектор из первых частных производных
Рис. 10.2 который называется градиентом. Если в точке х градиент не равен нулю, то он, как известно, перпендикулярен проходящей через эту точку поверхности уровня и указывает в точке х направление наискорейшего возрастания функции. Вектор Известно также, что равенство нулю градиента в точке является необходимым условием того, чтобы внутренняя для множества X точка х была точкой локального минимума дифференцируемой функции
называется стационарной точкой функции
Однако не всякая стационарная точка является точкой локального минимума. Пусть функция
составленной из вторых частных производных функции 3. Выпуклые функции.Понятие выпуклости играет значительную роль в теории методов минимизации. Функция
Рис. 10.3 Это определение имеет наглядный геометрический смысл — график функции Функция
Дважды непрерывно дифференцируемая функция
где 4. Задача минимизации квадратичной функции.Часто первоначальное исследование свойств методов безусловной минимизации проводится применительно к задаче минимизации квадратичной функции
коэффициенты
Вычислим градиент и матрицу Гессе для функции (10.5). Дифференцирование
Пользуясь симметрией матрицы А, получим формулу
Таким образом,
Дифференцируя обе части равенства (10.7) по Задача минимизации квадратичной функции представляет интерес
с центром в точке Во-вторых, хорошо известно, что в случае, когда А — симметричная положительно определенная матрица, задача минимизации квадратичной функции (10.6) эквивалентна задаче решения системы линейных алгебраических уравнений
Более того, решение (10.6). Действительно, Таким образом, всякий метод безусловной минимизации, будучи примененным к поиску минимума функции (10.6), порождает некоторый метод решения системы (10.10). Отметим, что поверхностями уровня квадратичной функции (10.6) служат 5. Обусловленность задачи минимизации.В § 9.2 достаточно подробно обсуждалась обусловленность задачи поиска строгого локального минимума функции одной переменной. Так как ситуация в многомерном случае аналогична, то здесь изложим соответствующие положения более кратко. Пусть Отсюда следует, что методы приближенного решения задачи минимизациии, в которых используются только значения Пусть теперь для решения задачи минимизации доступны приближенные значения градиента
Здесь
|
1 |
Оглавление
|