Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
13.2. Квадратурные формулы интерполяционного типаДля приближенного вычисления определенных интегралов часто используется следующий естественный для методов приближения функций прием. Подынтегральную функцию
Точность формулы (13.16) можно повышать за счет усложнения метода глобальной аппроксимации. Однако чаще используется другой подход. Интеграл I представляют в виде суммы (13.4) интегралов по элементарным отрезкам
1. Вывод квадратурных формул интерполяционного типа.Рассмотрим более подробно этот подход в случае, когда аппроксимация осуществляется с помощью интерполяционного многочлена. Зафиксируем некоторые значения
Используя замену переменной
Приближенная замена интеграла I суммой
Замечание. Квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные на основе равноотстоящих значений Рассмотренные в предыдущем параграфе простейшие квадратурные формулы являются формулами интерполяционного типа; более того, они относятся к классу формул Ньютона-Котеса. Формулы прямоугольников (13.6), трапеций (13.10) и Симпсона (13.12) отвечают использованию интерполяционных многочленов соответственно нулевой, первой и второй степени. 2. Оценка погрешности.Приведем теорему об оценке погрешности формулы (13.18). Теорема 13.3. Пусть функция
где
Представим погрешность
Пользуясь оценкой (11.26) погрешности интерполяции, в данном случае принимающей вид
и производя замену переменной
Учитывая, что Замечание 1. Теорема остается справедливой и в случае, когда для построения квадратурной формулы используется интерполяция с кратными узлами (т.е. когда некоторые из значений Замечание 2. Как следует из оценки (13.19), квадратурные формулы интерполяционного типа (13.18) точны для многочленов степени Отметим, что для некоторых симметричных квадратурных формул оценка погрешности (13.19) является грубой и не отражает истинный порядок их точности. Например, согласно этой оценке формулы прямоугольников и Симпсона должны иметь лишь первый и третий порядок точности соответственно, а в действительности они имеют на единицу больший порядок точности (см. теоремы 13.1, 13.2 и замечание 1 на с. 382). Поясним причину этого явления на примере формулы прямоугольников. Аппроксимируем функцию
Рис. 13.6 Таким образом, можно считать, что формула прямоугольников построена на основе интерполяции функции Формула Симпсона может быть получена (аналогично) на основе интерполяции многочленом третьей степени с узлами
3. Обусловленность квадратурных формул интерполяционного типа.При вычислении интегралов, как правило, приходится использовать не точные значения
указывающая на то, что абсолютное число обусловленности этой задачи равно Какова же чувствительность квадратурной формулы (13.3) к погрешностям задания функции
Таким образом, квадратурная формула устойчива к ошибкам задания функции и ее чигчо обусловленности Заметим, что все квадратурные формулы интерполяционного типа точны для многочленов нулевой степени и поэтому Известно, что при больших значениях
|
1 |
Оглавление
|