13.2. Квадратурные формулы интерполяционного типа

Для приближенного вычисления определенных интегралов часто используется следующий естественный для методов приближения функций прием. Подынтегральную функцию аппроксимируют на отрезке некоторой функцией интеграл от которой легко вычисляется, а затем полагают

Точность формулы (13.16) можно повышать за счет усложнения метода глобальной аппроксимации. Однако чаще используется другой подход. Интеграл I представляют в виде суммы (13.4) интегралов по элементарным отрезкам На каждом таком отрезке функцию аппроксимируют некоторой легко интегрируемой функцией . В результате получается составная формула

1. Вывод квадратурных формул интерполяционного типа.

Рассмотрим более подробно этот подход в случае, когда аппроксимация осуществляется с помощью интерполяционного многочлена. Зафиксируем некоторые значения Аппроксимируем функцию на элементарном отрезке интерполяционным многочленом с узлами интерполяции . В случае, когда все значения различны, можно воспользоваться записью интерполяционного многочлена в форме Лагранжа:

Используя замену переменной вычислим интеграл от на отрезке

Приближенная замена интеграла I суммой приводит к следующей составной квадратурной формуле интерполяционного типа:

Замечание. Квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные на основе равноотстоящих значений называют формулами Ньютона-Котеса.

Рассмотренные в предыдущем параграфе простейшие квадратурные формулы являются формулами интерполяционного типа; более того,

они относятся к классу формул Ньютона-Котеса. Формулы прямоугольников (13.6), трапеций (13.10) и Симпсона (13.12) отвечают использованию интерполяционных многочленов соответственно нулевой, первой и второй степени.

2. Оценка погрешности.

Приведем теорему об оценке погрешности формулы (13.18).

Теорема 13.3. Пусть функция имеет на отрезке непрерывную производную порядка Тогда для погрешности квадратурной формулы (13.18) справедлива оценка

где

Представим погрешность формулы (13.18) в виде

Пользуясь оценкой (11.26) погрешности интерполяции, в данном случае принимающей вид

и производя замену переменной получаем цепочку неравенств

Учитывая, что приходим к оценке

Замечание 1. Теорема остается справедливой и в случае, когда для построения квадратурной формулы используется интерполяция с кратными узлами (т.е. когда некоторые из значений совпадают).

Замечание 2. Как следует из оценки (13.19), квадратурные формулы интерполяционного типа (13.18) точны для многочленов степени

Отметим, что для некоторых симметричных квадратурных формул оценка погрешности (13.19) является грубой и не отражает истинный порядок их точности. Например, согласно этой оценке формулы прямоугольников и Симпсона должны иметь лишь первый и третий порядок точности соответственно, а в действительности они имеют на единицу больший порядок точности (см. теоремы 13.1, 13.2 и замечание 1 на с. 382). Поясним причину этого явления на примере формулы прямоугольников.

Аппроксимируем функцию на отрезке интерполяционным многочленом с кратным узлом Интегрирование многочлена дает значение совпадающее со значением, получаемым по элементарной формуле прямоугольников (13.5). Геометрическая иллюстрация, приведенная на рис. 13.6, показывает, что формулу (центральных) прямоугольников с равным основанием можно было бы назвать и формулой трапеций. Действительно, площадь элементарного прямоугольника совпадает с площадью трапеции одна из сторон которой является касательной к кривой проведенной в точке (ведь площади треугольников равны).

Рис. 13.6

Таким образом, можно считать, что формула прямоугольников построена на основе интерполяции функции многочленом первой степени с кратным узлом. Теперь из теоремы 13.3 с учетом замечания 1 следует, что эта формула действительно имеет второй порядок точности.

Формула Симпсона может быть получена (аналогично) на основе интерполяции многочленом третьей степени с узлами

центральный из которых является кратным. Следовательно, эту формулу с достаточным основанием можно было бы называть и формулой кубических парабол. Закономерно, что формула Симпсона имеет четвертый порядок точности.

3. Обусловленность квадратурных формул интерполяционного типа.

При вычислении интегралов, как правило, приходится использовать не точные значения подынтегральной функции, а приближенные значения Напомним (см. § 3 1), что задача вычисления определенного интеграла от приближенно заданной функции является устойчивой. В предположении, что для всех справедлива оценка

указывающая на то, что абсолютное число обусловленности этой задачи равно , т.е. длине отрезка интегрирования.

Какова же чувствительность квадратурной формулы (13.3) к погрешностям задания функции Заметим, что

Таким образом, квадратурная формула устойчива к ошибкам задания функции и ее чигчо обусловленности равно

Заметим, что все квадратурные формулы интерполяционного типа точны для многочленов нулевой степени и поэтому Следовательно, если все веса А, квадратурной формулы интерполяционного типа положительны, то ее число обусловленности совпадает с . Чувствительность такой формулы к ошибкам адекватна чувствительности вычисляемого интеграла. Если же среди весов имеются отрицательные, то .

Известно, что при больших значениях среди весов квадратурной формулы (13.18) появляются отрицательные и значение числа обусловленности становится большим. Например, для формул Ньютона-Котеса при при

и при . В силу плохой обусловленности эти формулы уже при используются весьма редко.