§ 11.6. Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева

1. Постановка задачи минимизации оценки погрешности.

Предположим, что значение заданной на отрезке функции можно вычислить в произвольной точке х. Однако по некоторым причинам целесообразнее заменить прямое вычисление функции вычислением значений ее интерполяционного многочлена Для такой замены необходимо один раз получить таблицу значений функции в выбранных на отрезке точках При этом естественно стремиться к такому выбору узлов интерполяции, который позволит сделать минимальной величину погрешность интерполяции на отрезке

Пусть о функции известно лишь то, что она непрерывно дифференцируема раз на отрезке Тогда неравенство (11.27) дает верхнюю границу погрешности интерполяции:

Поставим теперь задачу: определить набор узлов интерполяции при котором величина минимальна. Для решения этой задачи нам потребуются некоторые сведения о многочленах Чебышева.

Замечание. Формула (11.34) остается справедливой и в случае, когда некоторые из узлов совпадают, т. е. имеет место интерполяция с кратными узлами.

2. Многочлены Чебышева.

Введенные П. Л. Чебышевым многочлены широко используются в вычислительной математике. При они определяются явными формулами

а при рекуррентной формулой

Запишем явные формулы для многочленов Чебышева при :

Аналогично можно записать явные формулы и при Приведем некоторые свойства многочленов Чебышева. 1°. При четном многочлен содержит только четные степени х и является четной функцией, а при нечетном многочлен содержит только нечетные степени х и является нечетной функцией.

2°. При старший коэффициент многочлена равен т. е.

Справедливость свойств 1° и 2° следует непосредственно из определения (11.35), (11.36).

3°. Для справедлива формула

При формула (11.37) верна, так как Для того чтобы доказать справедливость формулы для всех достаточно показать, что функции удовлетворяют такому же, как и многочлены Чебышева, рекуррентному соотношению

(ср. с (11.36)). Соотношение (11.38) получится, если в легко проверяемом тригонометрическом тождестве

положить

4°. При многочлен имеет ровно действительных корней, расположенных на отрезке и вычисляемых по формуле

5°. При справедливо равенство Если то этот максимум достигается ровно в точках, которые находятся по формуле

При этом т. е. максимумы и минимумы многочлена Чебышева чередуются.

Доказательство свойств 4° и 5° основано на применении формулы (11.37). Например, в силу этой формулы корни многочлена расположенные на отрезке совпадают с корнями уравнения Эквивалентное преобразование этого уравнения дает Так как то заключаем, что имеется ровно корней отвечающих значениям и удовлетворяющих равенствам -эквивалентным формуле (11.39).

Назовем величину уклонением многочлена от нуля. Эта величина характеризует максимальное отклонение (уклонение) графика многочлена от графика функции на отрезке .

6°. Среди всех многочленов фиксированной степени со старшим коэффициентом равным 1, наименьшее уклонение от нуля (равное имеет многочлен

Благодаря этому свойству, Имеющему особую ценность для приложений, многочлены Чебышева иногда называют наименее уклоняющимися от нуля. Свойство 6° иначе можно сформулировать так: для любого многочлена вида отличного от справедливо неравенство

Приведем графики многочленов для

Рис. 11.3

Замечание. Из свойства следует, что среди всех многочленов фиксированной степени со старшим коэффициентом наименьшее уклонение от нуля (равное имеет многочлен

Формулы (11.39) и (11.40) позволяют дать следующую геометрическую интерпретацию построения корней и точек экстремума многочлена Разделим полуокружность, опирающуюся на отрезок как на диаметр, на равных частей и спроецируем полученные точки на отрезок На рис. 11.4 изображен случай

Нумеруя проекции справа налево, получим, что все проекции с нечетными номерами являются корнями многочлена (на рис. 11.4

Рис. 11.4

они помечены кружочками), а все проекции с четными номерами — точками экстремума (они помечены крестиками). Заметим, что корни и точки экстремума сгущаются к концам отрезка [-1; 1].

3. Решение задачи минимизации оценке погрешности.

Найдем сначала решение задачи в предположении, что отрезок интерполяции совпадает с отрезком [-1, 1].. В этом случае величина (11.34) будет минимальной при таком выборе узлов , при котором минимальна величина т. е. минимально уклонение многочлена от нуля. В силу свойств 4° и 6° многочленов Чебышева решение задачи дает набор узлов

являющихся нулями многочлена так как в этом случае

Заметим, что при таком выборе

причем в силу свойства 6° любой другой выбор узлов дает большее значение верхней границы погрешности. Для сравнения укажем, что при использовании для приближения функции отрезка ряда

Тейлора верхняя граница оценки погрешности такова:

Следовательно, она в раз хуже, чем при интерполяции с оптимальным выбором узлов.

Пусть теперь отрезок интерполяции произволен. Приведем его к стандартному отрезку [-1, 1] заменой

где Как нетрудно видеть, в этом случае

для Следовательно,

и минимум этой величины достигается при значениях , совпадающих с нулями многочлена Значит, решение поставленной задачи дает выбор узлов

которому отвечает минимальное значение верхней границы погрешности интерполяции, равное