Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
они помечены кружочками), а все проекции с четными номерами — точками экстремума (они помечены крестиками). Заметим, что корни и точки экстремума сгущаются к концам отрезка [-1; 1].
3. Решение задачи минимизации оценке погрешности.
Найдем сначала решение задачи в предположении, что отрезок интерполяции
совпадает с отрезком [-1, 1].. В этом случае величина (11.34) будет минимальной при таком выборе узлов
, при котором минимальна величина
т. е. минимально уклонение многочлена
от нуля. В силу свойств 4° и 6° многочленов Чебышева решение задачи дает набор узлов
являющихся нулями многочлена
так как в этом случае
Заметим, что при таком выборе
причем в силу свойства 6° любой другой выбор узлов дает большее значение верхней границы погрешности. Для сравнения укажем, что при использовании для приближения функции
отрезка ряда
Тейлора
верхняя граница оценки погрешности такова:
Следовательно, она в
раз хуже, чем при интерполяции с оптимальным выбором узлов.
Пусть теперь отрезок интерполяции
произволен. Приведем его к стандартному отрезку [-1, 1] заменой
где
Как нетрудно видеть, в этом случае
для
Следовательно,
и минимум этой величины достигается при значениях
, совпадающих с нулями многочлена
Значит, решение поставленной задачи дает выбор узлов
которому отвечает минимальное значение верхней границы погрешности интерполяции, равное