Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
они помечены кружочками), а все проекции с четными номерами — точками экстремума (они помечены крестиками). Заметим, что корни и точки экстремума сгущаются к концам отрезка [-1; 1].
3. Решение задачи минимизации оценке погрешности.
Найдем сначала решение задачи в предположении, что отрезок интерполяции совпадает с отрезком [-1, 1].. В этом случае величина (11.34) будет минимальной при таком выборе узлов , при котором минимальна величина т. е. минимально уклонение многочлена от нуля. В силу свойств 4° и 6° многочленов Чебышева решение задачи дает набор узлов
являющихся нулями многочлена так как в этом случае
Заметим, что при таком выборе
причем в силу свойства 6° любой другой выбор узлов дает большее значение верхней границы погрешности. Для сравнения укажем, что при использовании для приближения функции отрезка ряда
Тейлора верхняя граница оценки погрешности такова:
Следовательно, она в раз хуже, чем при интерполяции с оптимальным выбором узлов.
Пусть теперь отрезок интерполяции произволен. Приведем его к стандартному отрезку [-1, 1] заменой
где Как нетрудно видеть, в этом случае
для Следовательно,
и минимум этой величины достигается при значениях , совпадающих с нулями многочлена Значит, решение поставленной задачи дает выбор узлов
которому отвечает минимальное значение верхней границы погрешности интерполяции, равное